X-=zp COS

y = p sin 0 sin +.

Sous cette forme, l'expression de z ne contient que Tune des variables p, 6, 6, celle de x en contient deux, et celle de y enfin les contient toutes trois. Le déterminant est donc, en vertu du théorème précédent,

dz dx dy ù . ...

EXERCICES

1. La condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions d'un nombre quelconque de variables dépendent Tune de l'autre, est que leurs dérivées partielles, par rapport aux mêmes variables, soient proportionnelles.

2. La condition nécessaire et suffisante pour que n fonctions de n-hp variables aient entre elles une relation indépendante de ces variables, est que les déterminants des n fonctions, par rapport à n quelconques des variables, soient égaux à zéro.

* 3. Si deux angles u et v sont liés à deux autres angles 0 et ^, et à trois constantes m, /*,/?. par les équations

cos u sin m cos v __ sin u sin v

mcosô w sin 0 cos} ~~ psin Osin^'

le déterminant des fonctions u et v, par rapport à 0 et ^, est

mnp sin 9

sin a (m'cos,04-/i,sin,0cos,^-+-/>asin*0sin,>|/)a

k. Soient m, , u7 , . . . , un9 n fonctions distinctes de n variables xx , x7 , . . . , xH, Si l'on établit entre ces fonctions une relation

on pourra, en vertu de cette relation, exprimer Tune des variables, xn par exemple, en

7* PREMIÈRE PARTIE. - CALCl'I. DIFFÉRENTIEL.

fonction des n— i autres, et il sera permis de regarder i/,, «: ,. . ,»..„ comme fonctions d jrlf .r,, . . . ,*•„, ; on aura alors

l> { M,, 1/, , . . . , #i., ! __ dit. I) (l/,. « M.

D(x,t jt: jt.,î rfF, l> ;jr„ JT .... ,jV

la dérivée -7— étant prise en a\ant égard à ce que //,.#/; um sont de* fou riions de x..

o. Los données étant les mêmes que dans la question précédente, si l'on se donne un seconde relation

et que l'on regarde, par suite, m,, «.. //„.„ comme fonctions de .rlt r., . . . f jr,i, 00 aur

l> (.r„, jr\, ,") I) (.r,,.r,,. . .',jr„/' "" I) 'm„, um ,'■ hulf.r. jr\ 1 "