THÉORIE ANALYTIQUE DES TANGENTES ET DES PLANS TANGENTS
Équations de la tangente et de la normale à une courbe plane.
78. Lorsqu'une courbe plane est définie par une équation connue entre les coordonnées rectilignes#et jde ses points, on peut, d'après ce qui a été dit (24), trouver l'équation de la tangente à cette courbe. On a vu, en effet, que le coefficient angulaire de cette tangente, au point dont les coordonnées sont x et y, est la dérivée
-+- de y par rapport à x, et les chapitres précédents font connaître le moyen de la
calculer.
En représentant par t et u les coordonnées d'un point quelconque de la tangente dont le point de contact a pour coordonnées x et y, l'équation de cette tangente est
(.) . u-y=ji(t-x).
La normale qui lui est perpendiculaire et qui passe également par le point dont les coordonnées sont x eUty, a pour équation
ou, ce qui revient au même,
(3) (m— y)dy-\-(t — x)dx = o.
79. L'équation de la normale peut s'obtenir plus directement. Soient, en effet, l et u les coordonnées d'un point de la normale; le cercle dont ce point est le centre et qui passe par le pied x9 y de la normale, a une équation de la forme
(i) (rr w). + (*f). = ii»,
x et y désignant les coordonnées de l'un quelconque de ses points. En différentiant cette équation, on en conclut
(a) [y — u)dy+[x—t)dx=zo,
l. JO
et comme ce cercle touche évidemment la courbe proposée au point dont les coordonnées sont x et y, le rapport j- a la même valeur en ce point, pour le cercle et
pour la courbe; on peut donc, dans l'équation (2), regarder dy et dx comme se rapportant a la courbe, et elle ne diffère pas alors de l'équation déjà trouvée (78) entre / et u.
80. Les axes de coordonnées étant rectangulaires, si Ton abaisse, du point de contact M, l'ordonnée MP, la ligne PT, comprise entre le point P et l'intersection T de la tangente avec l'axe des X, reçoit le nom de sous-tangente.
On la désigne abréviativement par S,; MN étant la normale, PN est la sous-normale que nous désignerons par S„, enfin MT et MN reçoivent respectivement les noms de tangente et de normale. Les expressions de ces quatre lignes s'obtiennent immédiatement d'après les équations de la tangente et de la normale : on trouve
rr = s, =.,|, mt = , = y/,+r. (I)' =,y , + (£)■.
La sous-tangente et la sous-normale ont un signe que les formules précédentes donnent exactement, si l'on convient de regarder la sous -tangente comme positive quand la ligne TP est dirigée dans le sens des X positifs, et la sous-normale comme positive quand PN est dirigé dans le même sens. Nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, qui n'offre ni difficulté ni intérêt.
81 . On a souvent besoin d'introduire dans les calculs les angles formés par la tangente ou la normale à une courbe avec les axes de coordonnées, et il est nécessaire d'éviter toute ambiguïté sur le sens dans lequel ces angles sont comptés.
Le coefficient angulaire de l'équation de la tangente est ^-, si donc a désigne
l'angle formé par la partie positive de Taxe des X avec la portion de cette tangente supérieure a l'axe, on a
dr tang.= j£.
