LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

La direction de la normale se détermine par les angles X et jx, que forme, avec les axes, la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la tangente. La perpendiculaire pouvant être prise dans un sens ou dans l'autre, les angles X et a sont affectés d'une certaine indétermination, et Ton peut les changer tous

deux en même temps, en leurs suppléments. Le rapport est, néanmoins,

parfaitement déterminé, et Ton a, quelle que soit celle des directions opposées que Ton adopte,

(2) £2iif = ^,

cos a dy

ou, ce qui revient au même,

( 3 ) cos \ dx 4- cos iidy = o.

L'équation de la courbe étant

le rapport -r- est fourni par l'équation

d'après laquelle l'équation (2) équivaut à

(5) dx ___ dy

COSX COSf*

Ainsi donc : les cosinus des angles que forme la normale à une courbe plane avec les axes de coordonnées, sont proportionnels aux dérivées partielles du premier membre de l'équation de la courbe.

La somme des carrés de ces cosinus étant, pour une droite quelconque, égale à l'unité, on en conclut

cosX = ±

rfF dx

COS p = ±

les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris en même temps à cause de l'équation (5).'

82. On distingue quelquefois sur la normale à une courbe la direction extérieui et la direction intérieure à la courbe. Pour définir ces deux directions, il faut n garder la courbe dont l'équation est

comme partageant le plan en deux parties, Tune extérieure à la courbe et définie ps la condition ¥{œ9y) > of et l'autre intérieure, définie par la condition F (a\ v, << Cela posé, si nous nommons normale extérieure celle qui est dirigée vers la portic du plan extérieure à la courbe, X et fi étant les angles formés par cette normale av< les directions des axes positifs, on aura toujours

COS A = -i

tir

Si nous portons, en effet, sur la normale extérieure une longueur infiniment petîi e, les coordonnées de son extrémité seront

Or on a (53), en négligeant les infiniment petits du second ordre,

h Lr-t- i cos a, r-f- «cos u) = r [.i-, v: -h -=-- 1 cos /. h — r- i eus u, r/ v ' ' tix <ly r

et puisque F [x9 y ; est nul, le second membre se réduit à

c'est-à-dire, en remplaçant cos X et cos [i par leurs valeurs 81 .,

I 0,1 + (',/>■) "1 ./TZEyTTîî

F(*-McosX,.v4-«cos,*; = ±i| i;;f„ x"r/„. |=±«\/(^) + (^ï'

L'extrémité de la longueur e étant, par hypothèse, extérieure à la courbe, la valeu correspondante de F est positive, et il faut, par conséquent, danslesecond membre adopter les signes supérieurs, ce qui exige qu'on les adopte aussi dans les valeur de cosX et de cos p.