PS

et l'on peut porter cette valeur dans la seconde équation, en remarquant en outre que l'on a

sin

mais il est plus simple de différentier directement les équations ( i ) et (2). On en

déduit

dy = a sin udu,

dx = a[\ — cos u) du, d'où Ton conclut

dy sin u 1

j = = cot - w .

dx 1 — cos u 2

La tangente ayant pour coefficient angulaire cot - u9 l'angle qu'elle forme avec Taxe

des X est égal à - — - m, et la normale fait avec le même axe l'angle - u. On en conclut, conformément à ce qui a été dit (14), que la normale est MA', et la tangente MK.

De l'équation

dy 4 1

-f- = cot - u dx 2

dr on peut déduire l'expression de -/- en fonction dey, dont nous aurons à faire usage.

On a, en effet,

cos u = - >

__<Jzgy—y> a

l — cos u =5 - ; a

par suite,

dy m 1 sin m A lia — v

-£- =cot-M = = 1/ -•

dx 2.1 — cos m y y

Cette équation prend une autre forme si, laissant les axes parallèles a leur direction actuelle et changeant le sens de l'axe des Y, on transporte l'origine des coordonnées au sommet de la courbe, dont l'ordonnée est 2a. Les formules de transformation sont

J=20 — y%> x-=ixx -+-*a,

et l'on a, en supprimant l'indice de j,

dy = */ X dx y 2a — y

Problème II. — Tangente à l'épicycloïde.

L'épicycloide est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un