COS* — COS

de <jr *

h-* ax 1 R?\

DT* sin ( © H z J — sin ©

Or enjoignant KM, on voit que l'angle formé par cette droite avec l'axe des X est

précisément on — -•, elle est donc la tangente au point M, et la normale est par conséquent dirigée vers le point A'.

Problème III. — On abaisse, d'un point 0, des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane ; déterminer la tangente à la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires.

m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Pour résoudre ce problème, dont la solution géométrique a été donnée ( U , prenons pour origine des coordonnées le point 0; soient x, y les coordonnées d'u point M de la courbe donnée, l'équation de la tangente MP est

Celle de la perpendiculaire OP,

Si entre ces deux équations et celle de la courbe donnée, on élimine y et x, on ol> tiendra l'équation de la courbe lieu des points P; mais, pour déterminer la tangente, cette élimination n'est pas nécessaire. Éliminons en effet entre les équation:

( i ) et (a) le rapport -j-i nous obtiendrons la relation suivante, entre les eoordon

nées u et t du point P,

// — >• = / — jt :,

c'est-à-dire

(3) u2-ht: = ur + tj\ et en difterentianl cette équation,

(4 ) ? ti du -f-2/f// = «'/r-r/ dx -t- ytlti -h i dt . Or on déduit de l'équation ( a ,

udy H- (dx ^=o.

L'équation [l\) devient donc

2 // (lu -J-- 7. t (It — Y il H — rtlt,

d'où l'on déduit

du

(It

et Ton voit que la tangente cherchée, dont le coefficient angulaire est ~, est perpendiculaire à la ligne qui joint le point P du lieu, au point milieu de OM dont le coordonnées sont - et *-• Ce qui équivaut au résultat trouvé '14;.

Problème IV. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les iangenk