LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

dune courbe plane, et Von prolonge chaque perpendiculaire OP jusqu'en un point Q, tel que

OP.OQ = a',

a étant une ligne donnée. Trouver la tangente à la courbe lieu des points Q .

La solution géométrique de ce problème a été donnée (14). L'analyse conduit facilement au même résultat. En nommant x et y les coordonnées du point de contact M, l'équation de la tangente MT est

et celle de la perpendiculaire OP

On a d'ailleurs, en nommant xî9 %y% les coordonnées du point Q,

^,. , , a% I \dx) \

°V = *'+r', = w, = -f — Vy '

et en remplaçant 4- par — — (à cause de l'équation (a) à laquelle u = ys t = xt , satisfont), il vient

ou, en réduisant,

(3) yyl-+-xxl=a3.

En différenciant cette équation, on en conclut

(4) ydyx->ryxdy-\-xdxl-\-xidx = o\

mais le point Q, étant sur la droite représentée par l'équation (a), on a

ytdy-\-xtdx = o, et l'équation (4) se réduit à

ydyx-\- xdxx = 0, donc

dyx x

dxx "~ y '

fti PREMIÈRE PARTIE. - CALCl'I. MFFfcllKNTlKl..

c'est-à-dire que la tangente cherchée est perpendiculaire à la droite OM, ce qui i

d'accord avec le résultat trouvé f 14).

84. Dans la solution des deux problèmes précédents certains termes disp laissant d'eux-mêmes de l'équation obtenue par la differentiation, il en < résulté une grande simplification dans les calculs. Cette simplification tient à ui circonstance géométrique commune aux deux problèmes; elle se présenterait éj lement dans un grand nombre de cas analogues. Voici l'énoncé général d'un pr blême pour lequel elle a lieu, et qui comprend les deux précédents comme r particuliers.

Problème V. — Déterminer la tangente à une courbe dont les points se déduiseï suivant une loi connue, des tancent e^ à une autre courbe donnée. Soit

l'équation de la courbe donnée; l'une de ses tangentes a pour équation

ax

Les coordonnées xs,ys du point correspondant de la courbe cherchée sont des foo tions données des coefficients de cette équation, elles ont, par conséquent, des ei pressions de la forme

x'=i>W r-'dïY

Pour déduire de ces équations le coefficient angulaire de la tangente cherchi -s—, posons

dy dy

dx = u- ?-xZ:-v>

, ,/F, . ^ dV, .

dx, — -j~ du H j- dv,

du dv

. dV, . dV, .

dv = rf [y — ux ) = dy — udx — x du.

on aura

mais