LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Or, à cause de l'équation -£*= "» cette valeur de dv se réduit à — xdu, et Ton a

on en conclut

dxx = —r- du du

dFx .

— x -7— du, dv

dyt = — - du - J du

dh\ , - x -— du, dv

d¥2 dy, du

dF, -*~dï

dx, rfF,

dFS

ce qui résout le problème. La simplification du résultat tient à ce que la différentielle du se trouvant facteur commun, le rapport -p- se détermine sans qu'il soit nécessaire

dr de connaître la dérivée de -4-> que, sans cette circonstance, il aurait fallu calculer.

On voit que dans l'expression de dxK et dans celle de dyK , les termes en dy et en dx se détruisent, et qu'il ne reste que ceux dont le multiplicateur est du. Les calculs sont'donc les mêmes que si, en passant d'une tangente à la tangente infiniment voisine, on se contentait de faire varier le coefficient angulaire w, sans changer les coordonnées x et y du point de contact, et la tangente cherchée est la même que si la droite qui sert à déterminer les différents points de la courbe, tournait autour d'un point fixe : c'est ce que nous avons déjà vu ( 14).

85. Problème VI. — On porte, à partir des différents points dune courbe plane donnée, une longueur constante sur les normales à cette courbe; trouver la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus.

Soient xfy les coordonnées d'un point de la courbe donnée, tf u les coordonnées du point correspondant de la courbe qui s'en déduit; en nommant X, 4u les angles formés par la normale avec les axes, on a évidemment

/ = a?4-/cos>.,

u = y + /(OS a,

on en déduit par la différentiation

dt = dx^- Wcos a,

du = dy -+- Id cos p.

Multiplions la première de ces équations par cos X, la seconde par cos //., et ajoutons-les ensuite, il viendra

(3) cos W/ •+- cos pdu = dx cos* -+-</pcosp -H / (cos W cos > -h cos ut/cosp) ;

mais de l'équation

eosa a -+- ros* u — i ,

on déduit, en différenciant,

(4) ros a </ ros "a -+- eos u d ros p ■= o,

d'ailleurs (81 ;

( 5 ) rfjr ros a -4- //>• ros p = n .

et l'équation ( 3 , devient

^6) cos a dt -h ros ii du = o :

la comparaison des équations ( 5 ) et 6 donne

du dx

les tangentes aux deux courbes sont donc parallèles, ainsi que nous Pavons Lroui géométriquement (14;.

86. Problème VII. — Lorsqu'un angle de grandeur constante se meut de telle son que ses côtés touchent constamment une courlte plane donnée, son sommet P décrit m courbe, dont la normale s obtient en joignant le /wint P au centre du cercle ai passe par ce point et par les points A et B. où les cotés lie l'angle mobile touchent l courbe donnée.

Soit

l'équation de la courbe donnée; nommons «, /3 el a, £" les coordonnées des deu points de contact, et a la tangente trigonométrique de l'angle donné. Outre leséga lités |3 =ç i '«;, |3' = çf «' , on aura, pour déterminer les coordonnées a% y du poio P, les équations

Eliminant -J- et -.— , entre ces équations, on aura

dy dx l

(4) «[(r— P) ir— P'!-*-".^—».' (■*•—«')!+ ".r-?#J -*-"*1 -:.»■—(*} (.*•— «';=«,. Cette égalité, en y considérant .r et y comme seules variables, représente in