UV&E PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

cercle qui passe par le point P et les points (a, |3) (a\ |3'). Si l'on différentie cette équation, on aura

[iay— tf(p-+-p')-h(a' — «)](fy--f-[aor— a fla-f-a') -h(p — p')]rfr

Si maintenant on remplace dans l'équation (5) les valeurs dey — /3 et dey — jS' tirées des équations (i) et (2), lés coefficients de da et da' disparaîtront à cause

des équations (i)f (a) et (3). L'expression du coefficient différentiel -j^ est donc la

même, soit que l'on considère, dans l'équation (4), a et a' comme variables ou comme constants. La tangente, au lieu des points P, se confond donc avec celle du cercle représenté par l'équation (4), lorsqu'on y régale a, |3, a', |3' comme constants.

Remarque relative aux problèmes précédents.

87. Les problèmes précédents sont tous compris dans ce même énoncé général : les points d'une courbe 2 se déduisent par une certaine construction des points et des tangentes d'une autre courbe S; connaissant la tangente en un point donné de la courbe S, trouver la tangente au point correspondant de la courbe 2.

Le problème a été résolu dans les cas particuliers choisis pour exemples, mais il ne faut pas croire pour cela que la solution soit toujours possible. Si l'on choisit au hasard la construction à l'aide de laquelle les points de la courbe 2 se déduisent des points et des tangentes de la courbe S, la tangente à la courbe 2 ne sera pas déterminée lorsqu'on se donnera seulement le point correspondant de S et la tangente en ce point. Si cette détermination a été possible dans les cas particuliers que l'on a examinés, c'est que ces cas ont- été choisis pour qu'il en fut ainsi.

■On a déjà expliqué (84) à quoi tient, pour deux d'entre eux, la simplification qu'a présentée la solution; nous allons montrer pourquoi le résultat demandé est impossible en général.

Soient .r et y les coordonnées d'un point de la courbe S, etp le coefficient angulaire de la tangente en ce point. xx et yK étant les coordonnées au point correspondant de la courbe 2, on aura, d'après la définition de cette courbe,

8i; PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

s et F étant dpux fonctions dont l'énoncé détermine la nature. Or on déduit de ( i ,

par suite

r/F , rfF . d¥ ,

dj\ dx dy dx dp dx dx ? dy dp dx

^ — 77F Wdf dTdp"d¥ d¥ dj^dp'

lîx dy dx dpdx dx ^ dy dp Hx

On voit que ^ï coefficient angulaire de la tangente cherchée, contient non-seulcinent x, y et p, comme dans les cas particuliers qui ont été examinés, mais encore» '-£• Lors donc qu'on se donnera un point de la courbe S et la tangente en ce point, ht tangente au point correspondant de la courbe 2 restera, en général, indéterminée.

Tangentes aux courbes rapportées aux coordonnées polaires.

88. Lorsqu'une courbe est définie par une équation en coordonnées polaires,

on peut facilement déterminer, en chaque point, la direction de sa tangente. Soit M un point donné sur la courbe ayant w et p pour coordonnées; soit M' un point voisin, menons les rayons vecteurs OM, OM', et du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons un arc de cercle MP terminé au rayon OM' : on aura évidemment

OM=p, arcMP = pr/«.

De plus, M'P étant l'accroissement infiniment petit dep, peut être considéré (46) comme égal à dp ; or on a, dans le triangle MM'P,

MP sinMMP M'P~sinM'MP'

A la limite, 7|7fieslégal ljL P zr' 'e triangle MM'P est rectangle, et le rapport s!n M,xw

devient égal à la tangente de l'angle V formée par le rayon vecteur avec la portion de tangente dirigée du côté vers lequel l'angle w décroît. On a donc