LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Lorsqu'une courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on désigne quelquefois sous le nom de tangente, normale, sous-tangente, sous-normale, quatre lignes que nous allons définir.

Élevons par le pôle 0 une perpendiculaire au rayon vecteur OM; soit T Tintersection de cette perpendiculaire avec la tangente, et N son intersection avec la normale en M, MT se nomme la tangente, MN la normale, OT la sous-tangente, ON ta sous-normale.

Le calcul de ces quatre lignes n'offre aucune difficulté. On a

OT=S, = PmngV = p'^, m=t = yJo^9^

oN=s-=(5ï=^ mn=n=vA-^

rfP>

89. Comme application des formules précédentes, déterminons la tangente à la spirale logarithmique dont l'équation est

on a

p = ue t

tengV = p.=ae

ï — — M>Çr — — '

«P maem« ™

L'angle V est donc constant et il a pour tangente — • Ainsi la spirale logarithmique

coupe sous un angle constant les rayons vecteurs issus d'un point fixe. Si Ton suppose m = o, l'angle Y est droit et la spirale logarithmique devient un cercle.

Nous appliquerons encore les coordonnées polaires à la solution du problème suivant.

Problème VIII. — D'un point fixe O situé dans le plan dune courbe S, on mène à cette courbe des rayons vecteurs que l'on prolonge dune quantité constante l; trouver la tangente à la courbe 2, lieu des points ainsi obtenus.

Prenons des coordonnées polaires et pour pôle le point fixe O ; si l'équation de la. courbe donnée est

celle de la courbe qui s'en déduit est

et Ton voit que la sous-normale S„ étant exprimée par (-r->> a la même valeur poulies deux courbes, en sorte que les normales aux points correspondants vont concou-

SS m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ri r sur la perpendiculaire au rayon vecteur menée parle point 0; de là résulte une

construction très-simple pour la normale, et par suite pour la tangente.

Il suffît, en effet, pour obtenir la normale au point M de la courbe 2, de mener la normale en M à la courbe S et de joindre M' avec le point où cette normale rencontre la perpendiculaire ON au rayon vecteur OMM'.

90. M. William Roberts a remarqué que p et w représentant les coordonnées polaires des points d'une courbe, si Ton pose

t! = p" et a»' = /iw, on en déduit

pf/w p'rfw'

et, par conséquent, la courbe dont les points ont pour coordonnées p' et *>' et la courbe proposée, coupent leurs rayons vecteurs correspondants sous le même angle. Il en résulte le moyen de déduire de deux courbes données, deux autres courbes qui se coupent sous le même angle qu'elles.

Si Ton considère, par exemple, les droites dont les équations sont

pCOSw = a, p COS (w — ^) = p,

où » et /B sont arbitraires, et 9 désigne un angle constant, ces droites se coupent évidemment sous l'angle 9. On en conclut que les courbes représentées par les équations

p"COS/ï» = a", pMC0Si/lw — f)=p"

se coupent toujours sous l'angle 9, quelles que soient les valeurs attribuées à a et /S. En supposant n = a, on obtient le théorème suivant :

L'n système d'hyperboles équilatères concentriques et semblablement placées est coupe par un autre système de même nature sous un angle constant, double de celui que font les cures des deux systèmes.

Si Ton fait n = -> les courbes deviennent des paraboles de même loyer, et Ton

a le théorème suivant : Toutes les paraboles ayant le même foyer et le même axe,