LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

sont coupées par des paraboles de même foyer, mais d'axe différent, sous un angle moitié de celui que font les axes des deux systèmes de courbes.

M. Roberts a déduit de sa remarque un grand nombre de théorèmes, dont quelques-uns sont indiqués comme exercices à la fin du chapitre.

Tangentes aux courbes à double courbure.

91. Soient 9 (x, y, z) = 0, ty [x,y, z) = 0, les équations d'une courbe à double courbure; cherchons sa tangente en un point donné.

La tangente est la limite de la ligne qui joint deux points infiniment voisins, et Ton sait (13) que Ton peut, sans changer cette limite, remplacer l'un des deux points par un autre, qui en soit situé à une distance infiniment petite du second ordre. Si donc x, y, z sont les coordonnées du premier point, on pourra regarder *.i » celles du second comme égales àa? + dx, y -+- dy, z -+- dz; on sait en effet (46) *''*" que dy et dz ne diffèrent des accroissements véritables de y et de z que par des infiniment petits du second ordre.

Si *, u, v désignent les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint les deux points dont les coordonnées sont x, y, z, x h- dx, y -+• dy, z -+- d£ , les équations de cette droite sont

dx ~ dy ~~ dz

Pour avoir, sous forme finie, les équations de la tangente, il suffit donc de trouver trois quantités finies proportionnelles à dx, dy, dz, et d'écrire que ces quantités sont aussi proportionnelles à / — x, u —y, v — z-, or on a trouvé (62)

dx

dy à

dy dty dy dty dz dy dy dz

dydty dydy dydty dx dz dz dx dy dx

dydl dx dy

Les équations de la tangente sont donc

dy dty dz dy

dy dty dy dz

dy d$ dx dz

dy dty dz dx

d y d$ dy dx

dy d$ dx dy

On donne quelquefois à ces équations une autre forme qu'il est bon de connaître. Elles expriment qu'il y a proportionnalité entre les différences t — x, u—y> v— z, et les différentielles dx, dy, dz. Or ces différentielles satisfont aux équations

dq , dy , dy .

Si donc on écrit

dû , \ </+ / x dû / \

£i'— j + ^t—zJ+aJ^-*)*».

on aura exprimé que les différences / — a:, n — j, t> — z, ont les mêmes rapports que dx, dy, dz, et qu'elles leur sont, par conséquent, proportionnelles. Les équations ( i ) qui représentent deux plans sont donc, si l'on veut, celles de la tangente.

92. Les équations de la tangente a une courbe conduisent, sans difficulté, à celle du plan normal. Pour obtenir ce plan, il suffit en effet de remarquer qu'il passe par le point dont les coordonnées sont x, y, z9 et qu'il est perpendiculaire à la tangente. Les formules de la géométrie analytique donnent d'après cela pour son équation

(/ — x) dx -h (u — y) rfr-h (*' — s) rf-=o.

dans laquelle dx, dy, dz, devroiU être remplacés par les fonctions qui leur sont proportionnelles. On peut d'ailleurs démontrer directement cette équation. Soient/, u, r, les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, les différences / — x, u —y, v — z, sont proportionnelles aux cosinus des angles formés avec les axes par la droite qui joint ce point au point donné de la courbe dont les coordonnées sont x, y, z. Mais<£r, dy, dz, sont proportionnels aux cosinus des angles formés par la tangente à la courbe avec les mêmes axes, et, par suite, la condition pour que ces deux directions soient perpendiculaires, c'est-a-dire pour que le point /, //, ('appartienne au plan% normal, est précisément

[t — x) dx-\- [u — y) dy-+- -V — z) dz = o.

Courbes tracées sur une sphère.

93. L'étude des courbes tracées sur la sphère a conduit les géomètres à des résultats intéressants, et dont l'analogie avec les propriétés des courbes planes est digne de remarque. Nous nous bornerons à indiquer ici le système de coordonnées le plus habituellement employé pour représenter les points d'une sphère et le moyen d'obtenir la tangente à une courbe définie par une équation entre les deux coordonnées de l'un quelconque de ses points.

Considérons sur la sphère un point P, auquel nous donnerons le noui de pôle ; le grand cercle dont le plan est perpendiculaire au rayon qui aboutit en P, recevra le nom d'équateur ; les grands cercles passant par le point P seront des méridiens, et les petits cercles ayant leurs plans parallèles à l'équateur, des parallèles. Les