MM

lang M' =

M' étant l'angle formé par la courbe avec l'arc de grand cercle PM't Or on a

MM,=Rsin0rf?.

La première de ces équations est évidente, la seconde résulte de ce que MM, est un arc correspondant à l'angle d<p dans un cercle de rayon R sin 6. On a donc

Rrfe 1 rfe

lang M' = 77—: — r— = -r-7 • -r lisin ddo si 11 6» dy

Si en M' on mène un grand cercle M'Q normal a la courbe considérée, et que du point P on abaisse un arc de grand cercle PQ, perpendiculaire sur M'Q, le triangle sphérique PQM' donnera

sin -~ = sinO cosM'.

Equation du plan tangent à une surface. 94. L'équation d'une surface en coordonnées rectilignes étant

si à partir d'un point de cette surface, ayant x, y, z pour coordonnées, on attribue à x et à y des accroissements infiniment petits dx et dyy on a vu (54) que

l'accroissement correspondant de z peut être considéré, en négligeant les infiniment

petits du second ordre, comme égal a

dz , dz ,

7~ et T ^tant 'es dérivées partielles de z, lorsqu'on y considère successivement x et

y comme constants.

D'après cela, autour du point dont les coordonnées sont x9y, z, et à une distance infiniment petite de ce point, l'accroissement de z peut être considéré comme une fonction linéaire des accroissements de x et dey, et si Ton nomme /, u, v les coordonnées d'un point situé sur la surface à une distance infiniment petite du point a-, y, z, on a, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

Cette équation étant du premier degré en t9 u, f , représente un plan qui, évidemment, passe par le point x, y, z, et qui, pour les points infiniment voisins, est à une distance infiniment petite du second ordre de la surface considérée.

Nous allons prouver que ce plan contient la tangente à une courbe quelconque située sur la surface et passant par le point considéré. Menons par ce point M, dont les coordonnées sont#, y, z, une courbe P située sur la surface, et soit, sur cette courbe, M' un point voisin de M ayant pour coordonnées t, u, v. La tangente à la ligne P est la limite de la ligne droite MM'. Or on peut (13), dans la détermination de cette limite, substituer au point M' tout autre point qui en soit situé à une distance infiniment petite du second ordre, et par suite remplacer le point M' de la surface par le point du plan ( i ), dont les coordonnées parallèles aux x et aux y sont / et a; la troisième coordonnée v n'étant altérée, d'après ce qui précède, que d'un infiniment petit du second ordre. Mais après cette transposition du point M', la droite MM' est rigoureusement située dans le plan ( i ); il en est donc de même de sa limite, et la tangente en M à la courbe P, c'est-a-dire a une courbe quelconque menée par ce point sur la surface, est par conséquent située dans le plan d).

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme

il faudra, pour faire usage de l'équation ( i ), calculer d'abord -p et ^ à l'aide des

formules

rfF rfFrf£

dx dz dx '

rfF d¥dz éy+ dzlï~0j

UVR? PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES, et l'équation du plan tangent deviendra

dV . x rfF , s d¥ , .

Le même résultat peut s'obtenir a l'aide de formules données (91 ) pour la détermination de la tangente k une courbe à double courbure. Considérons, en effet, sur la surface donnée dont l'équation est F(xfy, z) = o9 la courbe qui résulte de son intersection avec une seconde surface ayant pour équation y [oc, y, z) = o, et passant par le point considéré x, y9 z. On a vu (91) que la tangente à cette courbe peut être représentée par le système des équations

/ % d¥ , , rfF , N rfF

Si la seconde surface est remplacée par une autre, assujettie seulement à passer par le point donné, la courbe d'intersection pourra prendre toutes les situations sur la première surface, et la tangente se déplacera, mais l'équation (i) restant la même, représente un plan dont cette tangente ne sort pas, et qui est précisément le plan tangent déjà trouvé par d'autres considérations.

Équations de la normale.

95. L'équation du plan tangent étant connue, on peut former facilement celles de la normale. En supposant les axes rectangulaires, la normale fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels aux coefficients de l'équation du plan tangent; cette droite passant par le point a?, y, z, les équations sont

rfF ~ rfF — rfF dx dy dz

, Si l'équation de la surface est donnée sous la forme celles de la normale deviennent

JdzX ~~ dz \dx) dy

9i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

t — x-\-(v — z)-T-=o, 1 dx

i \ dz

96. On peut distinguer, à partir de chaque point d'une surface ayant pour équation F (x, y y z) = o, deux directions opposées pour la normale; nous les nommerons direction extérieure et direction intérieure, la direction extérieure se dirigeant vers les points de l'espace pour lesquels on a

et la direction intérieure vers ceux pour lesquels on a au contraire

Si X, /x, v, désignent les angles de la normale extérieure avec les axes de coordonnées, on aura toujours

rfF

ros >. =

rfF

oos u = — J ,

vte) + te) + te)

COS v =

//d¥y /</F\' /dFy

VU?) + ta) + ta)

H est clair, en effet, d'après les équations (i), (95), que les trois cosinus sont

proportionnels à -t-> -p, -j-i et la somme de leurs carrés étant égale a l'unité, leurs

valeurs doivent être égales, ou égales et de signes contraires à celles que nous venons d'écrire. Cela posé, nommons e une longueur infiniment petite, portée sur la normale extérieure. Les coordonnées de l'extrémité de cette longueur seront \