LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

De plus,

cos /. =

' dsc

(OS fi =

cosv =

d¥y /d¥y /dvy

, //rfFv' id¥\' (dFy

et par conséquent,

F(.r-h«roSAt v + « cosfx, z -h

La normale ayant été menée extérieurement, le premier membre est positif, et par conséquent il faut, dans le second membre, adopter le signe supérieur, ce qui exige qu'on l'adopte également dans les équations précédentes.

97. Les formules qui font connaître la direction de la normale a une surface ayant une grande importance, il. ne sera pas inutile de les démontrer directement, indépendamment de l'équation du plan tangent.

Soit

F [x9mrt a) = o

l'équation d'une surface : si, partant d'un point de cette surface dont les coordonnées sont x, y, z, on passe h un point voisin dont les coordonnées sont a? -h dx, y -h dyy z -+- dz, la fonction F devant rester nulle quand on substitue aux trois variables leurs nouvelles valeurs, l'accroissement infiniment petit de F sera égal à zéro, et l'on aura

#/F . d¥ , d¥ , («) dï<,x+lîpdr+7hJz=z0'

Cette équation est vraie en négligeant les infiniment petits du second ordre, si dx, dy, dz, sont rigoureusement égaux, comme on l'a supposé, aux accroissements infiniment petits de .r, de y et de z ; mais elle est rigoureusement exacte, si dx et *dy9 représentant les accroissements de x et de y, dz est égal à la différentielle de z%

laquelle ne diffère, comme on sait (53), de l'accroissement de z, que d'un infiniment petit dli second ordre.

En entendant les choses de cette manière, l'équation ( i ), qui est rigoureusement exacte, prouve que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

proportionnels à -t-* -t-* -t-> est perpendiculaire à celle qui forme des angles dont

les cosinus sont proportionnels à dx9 dy, dz; cette dernière direction étant celle de la droite qui réunit deux points infiniment voisins de la surface, est celle d'une quelconque de ses tangentes, et la première est par conséquent celle d'une droite perpendiculaire sur toutes les tangentes, c'est-à-dire de la normale.

Détermination de quelques plans tangents.

98. Nous appliquerons les formules précédentes à quelques exemples. * Exemple I. — Cherchons le plan tangent à la surface représentée par l'équation

(i) x — az — <p [y— bz) = o.

L'équation du plan tangent est, d'après les formules précédentes,

/ x (M r) y (r bz) - [a - b f [y - bz)] (*> - z) = o.

Les cosinus des angles formés par la normale avec les axes de coordonnées sont

proportionnels à

i, — */, -fl + if, et comme on a

<*+(- l')b -+■ (fcf — a) =o,

on voit que la normale de la surface est perpendiculaire à la droite dont les

équations sont

x = az, y=bz,

et que par suite le plan tangent est parallèle à cette droite.

L'équation ( i ) représente en effet une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la droite x = az,y= bz9 et le plan tangent, contenant toujours une génératrice, doit être, comme on l'a trouvé, parallèle k cette droite.

Exemple FI. — Considérons, en second lieu, la surface dont l'équation est

(i) ax -h by + z = ? [x' 4- j* -f- z>)}

le plan tangent a pour équation

[t — x) (fl — 2*?') + («--/) (*— 2JV) +(f-2)(l-22?')=0.

La normale a pour équations

* } a — 9.Xf' 6 — 2/ï' I-22fl)'