LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
La surface représentée par l'équation ( i ) est de révolution autour de la droite dont les équations sont
/ = av,
u = bv.
La géométrie montre que cette droite est rencontrée par toutes les normales à la surface. H est d'ailleurs facile de le vérifier d'après leur équation générale trouvée plus haut.
Si, en effet, dans les équations (2) on remplace / par av et u parfo>, elles deviennent
av — x bv — y v — z
a — 9.xy' b — 2j?'"" I"2Zf
auxquelles on peut satisfaire en posant
99. Nous résoudrons enfin quelques problèmes, dans lesquels nous nous proposerons de déterminer le plan tangent à une surface suffisamment définie, mais dont l'équation n'est pas donnée.
Problème I. — On abaisse d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan tangent dune surface S donnée par son équation; trouver le plan tangent à la surface 2 décrite par le pied P de cette perpendiculaire.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point de la surface S, le plan tangent en ce point a pour équation
(,) i,z:= (/*) + (a rj,
la perpendiculaire abaissée de l'origine sur ce plan est représentée par les équations
dz
dx
dy Si entre les équations ( 1 ) et (2 j on élimine -r- et -^, on obtient la relation
(3) (t'-*)v-Hf-*)/ + lif-r)a = o,
qui a lieu entre les coordonnées x9y, z d'un point M de la surface S, et les coordonnées *, u9 v du point correspondant P de la surface 1.
En différentiant cette équation, on trouve
( 2 v — z) dv -h iv2 / — x ) dt -h (2 u — v) du — r dz — tdx — udy — o.
D'ailleurs on a
tdx -h udy -\-vdz = o.
/, m, r sont en effet proportionnels aux cosinus des angles formés avec les axes par la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent k la surface S au point M, et dx, dy, dz sont proportionnels aux cosinus des angles formés, avec les axes, par la ligne qui joint, sur cette surface, le point x,y, z a un point infiniment voisin, et il est clair que ces deux directions sont perpendiculaires. L'équation (4 j se réduit, par suite, k
(5) (2/ — x) dt -+- (aw —y) du -h (m — z) dvz^z o.
Elle prouve que la droite qui fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels a dt, du, dv, c'est-à-dire une tangente quelconque à la surface I au point P, est perpendiculaire k celle qui fait des angles dont les cosinus sont proportionnels k( 2t — x), {iu — yh far — s), c'est-à-dire k la droite qui joint le point
dont les coordonnées sont /, u9 v9 k celui dont les coordonnées sont -» •-»-• Il
résulte de lk que, comme on l'a démontré (14), la normale k la surface 1 passe par
le milieu de la droite OM dont les coordonnées sont -»£*-•
Problème II. — On abaisse d'un point O une perpendiculaire sur le plan tangent d'une surface S donnée par son équation, et Von prolonge cette perpendiculaire OP jusqu'au point Q, tel que
OI\OQ = a%
a étant une ligne donnée. Trouver le plan tangent à la surface 2, lieu des points Q.
Soient M le point de contact du plan tangent k la surface S, et x, v, z les coordonnées de ce point. L'équation du plan tangent est
/ \ t * dz t \dz
la perpendiculaire OP a pour équations, comme dans le problème précédent, , \ * . dz dz
