LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

et si Ton nomme x%%y^ zk les coordonnées du point Q, on aura par conséquent

dz V' + Z'di = °'

/ dz dz y

Éliminant -r- et -£■ entre les équations précédentes, il vient

(3) XX, -\-yyi-\- zzl=d*.

Cette seule équation suffit, comme nous allons le voir, pour la détermination du plan tangent cherché. Elle donne, en effet, par la différentiation,

(4) <> = xdxx h- ydyx -\-zdzi-\- x{ dx-\-y\ dy-{- zt dz.

Or on a

xx dx -+• y dy -+- z, dz = o,

car la ligne OP forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à a?4, yi9 zi9 et cette ligne étant perpendiculaire au plan tangent de la surface donnée, fait un angle droit avec une tangente à la surface S, qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz. L'équation (4) devient donc

(5) o = xdxx -+- ydyx -+- zdzx,

et elle exprime que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sonl proportionnels à dxndyi9 dzn est perpendiculaire à celle qui forme des angles dont les cosinus sont proportionnels à x, y, z, c'est-à-dire qu'une tangente quelconque à la surface lieu des points Q, est perpendiculaire a la droite OM qui joint l'origine O au point correspondant M de la surface S. Le plan tangent cherché est donc perpendiculaire à cette ligne OM, ce qui s'accorde avec le résultat trouvé (14).

100. Les solutions des deux problèmes précédents ont présenté une simplification remarquable qui tient à une circonstance géométrique qui leur est commune: cette simplification se présenterait également pour tous les problèmes renfermés dans l'énoncé suivant :

Problème III. — Ixs points dune surface 2 se déduisent, suivant une certaine loi donnée, mais d ailleurs quelconque, des plans tangents dune surface donnée S ; trouver le plan tangent en un point de la surface 2.

Soient r, y, z les coordonnées d'un point de la surface S ; le plan tangent en ce

point a pour équation

. x dz , v dz

Les coordonnées œifyif s, du point correspondant de la surface 2 sont, par hypothèse, des fonctions données des coefficients de cette équation. Si donc on pose

dz dz dï—p' 'dy~~q'

z — px — qy=u,

on aura

et par suite

dxx

^♦-jf-l-S?*-

dy\

dz,

Mais de l'équation

u = z — px — qy

on déduit

du = dz — pdx — qdy — xdp—ydq.

c'est-à-dire, comme on a, (54), dz=pdx-\~ qdy,

tf m = — xdp — ydq. Par suite,

En éliminant dp et dq entre ces équations, on obtiendra une relation de la forme

\dxx -+- Bdyi -+- Cdz% = o, dont on conclura, comme on Ta fait pour les équations (5) des problèmes 1 et II,