LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

que la normale à la surface 2 au point xî9y%t z%9 fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels a A, B, C.

Le succès de la méthode tient, on le voit, à ce que du s'exprimant en fonction de dp et de dq, on peut, sans différentiations nouvelles, former une relation du premier degré entre dxs , dyt , dz, . On peut remarquer que les valeurs de dœh , dyK , dz% , ne contenant que dp et dq, le plan tangent à la surface 2 est le même que si le plan dont on déduit les points de cette surface changeait de direction en passant toujours par le même point M; car/iet? sont les coefficients angulaires de l'équation du plan, et les variations dx, dy, dz des coordonnées du point de contact ont entièrement disparu du résultat.

Ce résultat s'accorde avec ce qui a été dit (14).

101. Lorsque les points d'une surface se déduisent des points d'une autre surface et des plans tangents en ces points, le plan tangent en un point de la surface ainsi formée ne peut pas toujours se déduire de la connaissance du point et du plan tangent correspondant de la surface primitive. Nous donnerons cependant deux exemples de problèmes pour lesquels il en est ainsi.

Problème IV. — A partir des différents points d'une surface donnée S, on porte, sur les normales à cette surface, une longueur constante l; chercher la normale à la surface 2, lieu des points ainsi obtenus*

Soient xy y, z les coordonnées d'un point de la surface S ; a, |3, 7 les angles que la normale en ce point forme avec les axes, et oci9yt, zt les coordonnées de l'extrémité de la longueur / portée sur cette normale; on a évidemment

xx = x + lcosz,

yt = tr-h/cosp,

zx= z -h /00s 7, et, en différentiant,

dxx = dx -H ld cos a,

dy\ = dy -h ld cos p,

dzx = dz 4- ld cos 7.

Si on ajoute ces équations après avoir multiplié la première par cos a, la seconde par cos |3, la troisième par cos 7, on obtient

cos a dxx -h cos p dy{ -+- cos 7 dzx = cos a dx 4- cos p dy -t-'cos 7 dz

-+- /(C0Sarfc0Sa-j- COSprfcOS P -H COS 7 dcOS 7 }.

Or on a

COS' a + COS2 P -f- COS* 7=1»

d'où Ton conclut en différentiant,

COSarfcOSa -f- COS P d COS P -f- COS 7 d COS 7 = O.

D'ailleurs la direction de la normale étant perpendiculaire à une tangente quelconque de la surface S, on a

cos *dx + cos p dy -h cos 7 dz = o, et l'équation ( t ) devient alors

cos a dxx -f- cos p dyx -+- cos 7 dz, = o,

d'où Ton conclut que la normale à la surface 2 au point xt9yit zt fait, avec les axes, des angles égaux à a, |3, 7, et qu'elle coïncide par conséquent avec la normale au point correspondant de la surface S. C'est ce qui a déjà été démontré (14).

Problème V. — On donne un point 0 et une surface S, on joint le point 0 à un point quelconque M de la surface S ; par le rayon OM on mène un plan contenant la normale MN de la surface au point M; dans le plan OMN on élève, par le point 0, une perpendiculaire OP au rayon OM, égale en longueur à ce rayon: trouver le plan tangent à la surface lieu des points P.

Coupons la surface S par une sphère de rayon OM ayant son centre en 0 : il est facile de voir que le rayon OP défini dans l'énoncé précédent, et sur lequel on doit porter une longueur OP = OM, est perpendiculaire au plan qui touche, suivant la génératrice OM, le cône dont le sommet est en 0 et qui a pour base la courbe d'intersection.

Soient x, y, z les coordonnées du point M, i,j)fs, celles du point P; les rayons vecteurs OM et OP étant perpendiculaires, on a

(1) . xxx-\-yy\-\- zzt = o.

De plus, la ligne OP étant perpendiculaire à la génératrice de cône infiniment voisine de OM, on a aussi

(2) xxdx -hytdy-h zxdz =0.

dx9 dy, dz, désignant les différentielles de x, y, z, lorsqu'on reste sur la courbe d'intersection de la sphère avec la surface S. Si l'équation de la surface S est

dx, dy, dz sont définis par les équations

(4 ; xdx -+- ydy ■+• zdz = o.