LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
enfin on a
En difterentiant les équations (i) et (5) et leur adjoignant l'équation (3 j on a
— [xdxx-hydyx -h zdzx) = xxdx-hyxdy-\- zxdzf ,/.. " d% . dm , do ,
x , dxt -+- Y\ dyx -h zxdz = xdx -\- y dy + :rf;.
Mais les équations (2) (3) et (4) étant compatibles, montrent que le déterminant des coefficients de dx, dy, dz, dans les seconds membres des équations (6:, est égal à zéro, et, par conséquent, il existe trois facteurs, 1, n, m, tels, que les seconds membres multipliés par ces facteurs donnent une somme identiquement nulle; il en est donc de même pour les premiers, et Ton a
(7) [mxx —x) dxx -h(/wfcr, —y)dyx -h[mzx — z)dzx=o.
m étant défini par les équations
do
xx H- mx -h n — = o, dx
do
Zi -h mz -+- n -^ = 0,
dont Tune est la conséquence des deux autres.
On verra, comme dans les problèmes précédents, que, d'après l'équation ( 7 ., la normale à la surface lieu des points xK , yK , zK fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels a mxs — x, myK — y, mzs — z. Le problème proposé est donc résolu. Mais ce résultat peut être interprété, comme il suit, d'une manière élégante.
Considérons le triangle OMK formé parla droite OM, la normale MN et la ligne OP.
En écrivant que la somme des projections des côtés de ce triangle sur les axes des
coordonnées est nulle, on a
OK*, ^ dx x(M
■ vm+m+m
OKr, + dy r<>M .
s'*1, -+- r', -+- z] ~~ . I (dfy , (dvy /dfy \fx>+r> + z>
V \iï) + [dj) + Uj
OKz, , ■ M dz zOM
^jt? H- r? -f- 2 J. a //rf?\' ' /<M2 7^?\ ' V*2 H" r* -r- *"*'
\^(sy * ($y * (sy
et, par conséquent, en remarquant que x] +y] ■+- z* =^+y + a*., on satisfait aux équations (8) en prenant
om . km Vx?-t-r;+z;
ok' — ok
\/(ÈMIM£)*
Les cosinus des angles que la normale en P forme avec les axes sont donc proportionnels à
.r.OM + arOK, j.OM+jrOK, z.OM + zOK.
Or en portant sur OM une longueur OK' = OK, et, sur OP prolongé, une longueur OM' = OM, on voit que ces trois expressions sont proportionnelles aux projections sur les axes de la ligne K'M' qui joint les points ainsi obtenus; cette ligne K'M' est donc parallèle a la normale cherchée, or il est clair, par la géométrie élémentaire, qu'elle est dans le plan MOP et perpendiculaire a MK. .C'est le résultat que nous avions trouvé (14).
102. Appliquons enfin la théorie des plans tangents à la détermination de la loi suivant laquelle se déplace le plan tangent à une surface réglée, aux différents points d'une même génératrice rectiligne.
Soient
les équations d'une génératrice qui, par la variation du paramètre a, occupe dans l'espace une suite de positions dont l'ensemble forme la surface considérée. Pour simplifier, sans changer en rien la loi que nous cherchons, supposons que, pour une valeur de a, a = o par exemple, la génératrice coïncide avec l'axe des z ; il
