LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. iltô

faut et il suffit pour cela que Ton ait

Cherchons comment varient les plans qui touchent la surface aux différents points de Taxe des z. Tous ces plans devant évidemment contenir l'axe des s, la coordonnée parallèle a cet axe ne figurera pas dans leur équation, et Ton ne peut pas faire usage de la formule

. .dz . dz

car les coefficients -y-et-^ sont nécessairement infinis. 11 convient donc de chanax tfy

ger les coordonnées les unes dans les autres, ce qui est permis, car rien ne les distingue essentiellement, et nous adopterons la formule

L'équation ne devant pas renfermer la lettre v9 coordonnée parallèle a Taxe de z; on doit avoir -Z- = o. Mais le calcul même va d'ailleurs nous l'apprendre.

Pour calculer ^-? différentions les équations (i), en y traitants comme constant; il vient

<fcr = [>?' («)++' («)]«/«,

<tX=[zf [a) +¥'(*)] il*.

dy =zf («)+F'(«)^ IJx Zy' (a) -+-+' (a)'

où il faut supposer a = o.

Pour calculer -£> et prouver qu'il est nul, différentions les deux équations ( i ), en y considérant x comme constante ; nous aurons

o = [z f' (a) H- y (a)] da -4- ? (a) dz,

rfr=[zf(«)+F'W]rf«+/(«!4

et de là, en éliminant da,

dr ?(«)[*/Vj+F'(«)l , fla)

dz" *•'(«)++' (a) "t"•/^j,

ce qui, pour a = o, devient nul, à cause des hypothèses 0 (o) = o,/(o) = o. 1. '4

iOO PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

L'équation du plan tangent cherché est alors

J K ;*V(°)++l0) en posant

?'(o) = m, +'(o) = #if

on voit que l'angle 0, formé par ce plan avec le plan des ZX, est donné par la formule

az -+- b

lang ô =

mz -h /i

Si Ton substitue, au plan des ZX, un nouveau plan formant avec lui l'angle ç, l'inclinaison S' sur ce nouveau plan sera donnée par la formule

/* x (a*-h 6) — lang<p(mz-|-n) lang 0' = lang 0 — » == •) '- , lw ' »

et si l'angle <p est choisi de telle sorte que

m 4- a lang ? = o, on aura

(/i-+-6 langcp) (n-4-ft lang<p)

Ainsi la tangente de l'angle formé par le plan tangent, avec un plan fixe conduit par la génératrice, est exprimée par une fonction de la forme

et si l'on transporte l'origine des coordonnées au point de l'axe des z dont l'ordonnée actuelle est

on devra remplacer z par z -+- z\ et l'expression de tang 0' deviendra simplement

Nous voyons donc que la tangente de l'angle formé par le plan tangent avec un plan fixe, est proportionnelle à la distance du point de contacta un point convenablement choisi sur la génératrice.

103. Dans certains cas, la constante désignée par G est nulle et le même plan est tangent en tous les points de la génératrice.

Cherchons la condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi, non-seulement pour une génératrice isolée, mais pour toutes les génératrices d'une surface.