LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Reprenons les équations

x = zy(z) -*- + («), .

qui représentent une génératrice quelconque. Pour que le plan tangent soit le même tout le long de cette génératrice, il faut que les deux coefficients différentiels

T-et -y- soient fonctions de la seule variable a et conservent la même valeur tant

que a ne change pas.

Calculons, par exemple, —-> et, pour cela, différentions les deux équations ( i )

en y considérant y comme constant. Nous aurons

dx = dz? («) -+-[**' («) + +'(«)]«/«.

d'où l'on déduit, en éliminant rfa,

dz i

dx *i'(*) + Y («) f( ,

Pour que cette fonction dépende de a seulement, et soit indépendante de zy on doit avoir

en écrivant que -t- est indépendant de zf on retrouverait la même condition, qui

exprime par conséquent la propriété en question.

Cette condition s'interprète géométriquement d'une manière remarquable: ello exprime que la génératrice dont les équations sont*

x = Zff(a) -*-+(«), 7 = */(«)+F(«)f coupe la génératrice infiniment voisine représentée par

xz= zy(<z) +3(p'(a)rfa-h^ (a) -+- +' (a)rfa,

r = ;/(«)+z/(«)(fa+F(«)+F(a)rfa.

Nous n'insistons pas ici sur les conséquences de ce résultat et sur la manière dont il doit être entendu, notre but n'étant en ce moment que de donner une application de la théorie des plans tangents à une classe importante de surfaces.

Courbes et surfaces enveloppes.

104. Lorsque l'équation d'une courbe plane contient un paramètre arbitraire, la courbe peut prendre, par suite de la variation de ce paramètre, une infinité de formes et de positions différentes. On nomme courbe enveloppe de cette courbe mobile, une ligne fixe à laquelle elle reste tangente dans toutes ses positions. La courbe mobile à laquelle l'enveloppe est constamment tangente, reçoit alors le nom de courbe enveloppée.

Il est facile de voir géométriquement que la courbe enveloppe est le lieu des points d'intersection de chaque courbe mobile avec la courbe infiniment voisine.

Si l'on considère, en effet, la série des courbes enveloppées obtenues en attribuant successivement tfu paramètre variable de très-petits accroissements, les points d'intersection de chaque courbe avec la courbe voisine formeront les sommets d'un polygone curviligne dont chaque côté sera un petit arc appartenant à l'une des courbes. La limite de ce polygone touche évidemment toutes les courbes proposées et passe par le point d'intersection de chacune d'elles avec la courbe infiniment voisine.

D'après cela, pour trouver l'équation de la courbe enveloppe, soit

(i) ff[x9y9a) = o

l'équation de la courbe mobile enveloppée, dans une de ses positions, l'équation de la même courbe, dans la position infiniment voisine, est

(2) y [x9 y9a-\-da) = o9

et pour avoir les coordonnées d'un point de l'enveloppe, il faut résoudre les équations (1) et (2). On peut évidemment substituer à l'une d'elles, l'équation obtenue,( en les retranchant l'une de l'autre et divisant la différence par da, c'est-à-dire

[ô] Ta -0'

et l'équation du lieu des points de contact ainsi obtenus, c'est-à-dire la courbe enveloppe cherchée, s'obtiendra en éliminant a entre les équations f 1 ) et (3).

Par conséquent: l'équation de l'enveloppe des courbes représentées par l'équation <p (œ,y9a) = o s'obtient en éliminant la constante a entre l'équation et sa dérivée par rapport à la constante.