LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
105. On peut démontrer analytiquement que l'équation obtenue en éliminant a entre
(i) f[x,yta) = o,
représente une courbe tangente à chacune des enveloppées proposées.
Supposons, en effet, que dans l'équation (i) on remplace a par sa valeur déduite de (3); l'élimination sera faite, et Ton obtiendra une équation de la forme
A désignant une fonction de a? et dej. Or je dis qu'en chaque point de la courbe représentée par cette équation (3), la tangente est la même que celle de la courbe
enveloppée qui y passe. Le coefficient angulaire ^ est donné, en effet," pour la
courbe (3), par l'équation
dy dff dy dy /
dx dy dx dk\ dx ~^~ dy dx J
d\ d\dy\
or pour la courbe représentée par l'équation (ij dans laquelle on attribue à a la valeur numérique que prend A au point considéré, le coefficient angulaire est fourni par l'équation
d y dv dy
dx ~^ dy dx
qui s'accorde avec la précédente, à cause de l'cquation -^ = o, qui est satisfaite
en
tous les points de la courbe enveloppe. I W|tiâ4fts&) \
106. Lorsque l'équation d'une surface contient un paramètre arbitraire, cette surface, peut prendre, par suite de la variation de ce paramètre, une infinité de formes et de positions différentes. Le lieu des intersections de chaque surface avec la surface infiniment voisine, touche, suivant une courbe, chacune des surfaces considérées et se nomme la surface enveloppe de celles-ci, qui reçoivent alors le nom de surfaces enveloppées.
Si l'on attribue, en effet, au paramètre arbitraire une série d'accroissements successifs extrêmement petits, on obtiendra une série de surfaces- dont chacune coupera la précédente, et, sur chaque surface, on aura deux courbes voisines provenant de ses intersections avec la surface qui la précède et avec celle qui la suit; entre ces deux
Ho PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
courbes esl comprise une zone, et l'ensemble de ces zones forme à la limite une surlace Heu des intersections successives des surfaces proposées et qui les touche toutes suivant une courbe, puisqu'elle est la limite d'une réunion de zones respectivement empruntées à chacune d'elles.
107. La courbe d'intersection de deux surfaces infiniment voisines correspondant aux valeurs a et a -h da du paramètre a, est représentée par les deux équations
y(x9y, z, a -f- da) = o, que Ton peut remplacer, absolument comme (104), par
da
On peut démontrer analytiquement que la surface dont l'équation résulte de l'élimination de a entre les équations (i) (2), est tangente à toutes les surfaces proposées. Supposons, en effet, que dans l'équation ( 1 ) on remplace a par sa valeur déduite de (a). L'élimination sera faite et l'on obtiendra une équation de la forme
A désignant une fonction de a?, y9 z. Or je dis qu'en chaque point, cette surface a même plan tangent que la surface enveloppée qui y passe. Les deux
coefficients -f- et y- de l'équation du plan tangent sont donnés en effet pour la
surface (3) par les équations
dy dy dz dff fdk dkdz\ __ dx"* Tzdi + dk \dï + ~dz~ Tx) -°9
dff dffdz d^ /dk dkdz\
dy dz dy dk\dy dz dy) '
et ceux du plan tangent a celles des surfaces enveloppées pour laquelle la constante est égale à la valeur numérique que prend A au point considéré, le sont par les équations
d^ dff dz'
dx 3z dx '
dff dff dz
dy dz dy '
or ces équations rentrent dans les précédentes à cause de la condition -rj = o ,
