LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. III

qui est satisfaite en tous les points de la surface enveloppe, et par conséquent les deux plans tangents se confondent.

108. On peut encore chercher l'enveloppe des surfaces représentées par l'équation

a et 6 désignant deux constantes arbitraires. H faut, pour obtenir l'équation (rime telle enveloppe, éliminer a et b entre les trois équations

dY dY

i*> a«=l1- te =°-

La surface représentée par l'équation résultante touche toutes les surfaces proposées, chacune en un seul point, ce qui distingue ce cas du précédent, dans lequel chaque enveloppée avait, avec l'enveloppe, une courbe de contact. Il est clair, en effet, que pour des valeurs données des constantes a et 6, les équations ; i . et « :* , n'ont qu'un nombre limité de solutions, et les points représentés par ces solutions sont ceux où la surface qui correspond aux valeurs choisies de a et de b est touchée § par l'enveloppe. Il est facile de faire voir qu'en chacun de ces points les deux surfaces ont même plan tangent.

L'équation de la première est. en effet,

et celle delà seconde en diffère, parce que «et b sont remplacés par deux fonctions, A et B de x, y, z, qui sont les valeurs de a et b déduites des équations ( a... Pour calculer les coefficients de l'équation du plan tangent à la surface i . il faut faire usage des équations

auxquelles, pour calculer ceux du plan tarngent à la surface représentée par l'équation

dY

dx

dYdz dz dx

dY

d¥ dz dz dy

il faut substituer les suivantes :

</F d¥<k 'W/dK dAd±\ <W(d* ï*!!L\—0 dx dz dx d\ \dx dz dxj r/B \dx dz dx) ~~ f

</F d¥dz dW(d\ d±d±\ d¥ (dB rfB rfz\

mais les fonctions A et B sont telles, que, pour chaque point de la surface enveloppe, on a — = o, -t= = o, et, par conséquent, les valeurs de y-, -7- déduites des équations ( 1 ) m* différent pas de celles que fournissent les équations (4).

application à quelques exemples.