LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
a et b étant liés par l'équation
L'équation delà droite mobile renferme ici deux paramètres variables a et 6, mais il existe entre eux une relation connue ; on peut donc regarder b comme une fonction donnée de a, et appliquer la méthode générale. En différentiant les équations (i) et (a) par rapport à a, on a
,*» xda ydh
(4) ada + bdb = o.
Il faut éliminer db entre ces équations, puis égaler à zéro le coefficient de Ai; on obtiendra évidemment le même résultat en les ajoutant, après avoir multiplié la première par un coefficient indéterminé — X, et égalant à zéro les'coefficients de da et de db. On trouve ainsi
ajoutant ces équations après les avoir multipliées par a et bf on en déduit
c'est-k-dire, en vertu des équations ( i ) et ( 2 )f
(6) \ = i>; par suite les équations (5) donnent
(7) a* = Px, b* = l*jr;
en éliminant a et b entre les équations ( a ) et ( 7 ), on a enfin
Ce lieu est de même nature que le précédent. On aurait pu le prévoir en remarquant que lorsqu'une droite de longueur constante est inscrite dans un angle droit, ses différents points décrivent des ellipses dont l'équation générale est celle que l'on a considérée dans le problème précédent, de sorte que l'ensemble des ellipses et l'ensemble des droites recouvrent la même portion du plan, et les points où elles ne pénètrent pas sont limités, pour toutes deux, par la même enveloppe.
\ \ i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
111. Surface des ondes lumineuses. — On donne un ellipsoïde dont l'équation est
Par le centre de cette surface, on mène un plan quelconque P qui la coupe suivant une ellipse E, et Ton mène un second plan P' parallèle au plan P à une distance inversement proportionnelle à l'un des axes de l'ellipse E. La surface enveloppe des plans P' joue un rôle important dans la théorie de la lumière, nous allons chercher son équation.
Les deux axes de l'ellipse suivant laquelle l'ellipsoïde est coupé par le plan dont la normale fait avec les axes des angles dont les cosinus sont égaux à /, m, n9 sont (*;■ les racines de l'équation
/' ni1 n2
de sorte qu'en posant - = v et - = a', ^ = b\ - = c\ l'équation du plan enveloppé dont la distance a l'origine est --> est
Ix -+- my -¥ nz = v9
et Ton a
L'équation du plan mobile contient ici quatre paramètres /. m, n, i\ mais il existe, entre eux, deux équations, et nous sommes par conséquent dans le cas traité (108). Il faudrait donc éliminer deux de ces paramètres, puis égaler à zéro les dérivées de l'équation du plan mobile par rapport aux paramètres restants; or cela revient, évidemment, à différentier en considérant les quatre paramètres comme variables, puis à éliminer deux des différentielles pour égaler à zéro les coefficients des deux autres dans l'équation où elles figureront seules.
En différentiant l'équation du plan mobile et les deux équations qui lient les
( * ) Nous déduirons cette équation de la théorie des maxima et minima. On peut la former directement en remarquant que dans un ellipsoïde le produit des deux axes d'une section diamétrale par la perpendiculaire abaissée sur le plan tangent parallèle, est égal au produit des trois axes, et que la somme des carrés des inverses de trois diamètres perpendiculaires est constante et égale à la somme des carrés des inverses des axes.
