LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. H fi

paramètres, on a

( i ) x dl -+-ydm 4- zdn — dv,

(2) Idl -h mdm -+- ndn = o,

Idl mdm ndn ____ , [' /* ma ;*' 1

(3) (,' — «' + </' — 6" + i«=-r" "" V L(^— «")'' («*— fc'»)»"1" (V— r")2 ]'

En ajoutant ces trois équations après avoir multiplié la première par X, la seconde par fi et la troisième par — 1, et égalant à zéro les coefficients de dl, dm, dn et dv, on trouve

te\ % m

(5) V'+P'^ï^ZJV

en multipliant les équations (4)» (5), (6) par/, m, n, et ajoutant, on en déduit

(8) lv + ti=:o;

mais en multipliant les mêmes équations par x,y, z, et posant ^+/ + :a=^, on trouve

et, à cause de l'équation (8),

/ * •> / , ,\ te mr nz

En ajoutant les équations (4), (5), (6), élevées chacune au carré, après que le second terme du premier membre a été transposé dans le second,

et par suite, en ayant égard à (7) et (8),

(il)" V(r'— v2)=->

v(ra — v2j

d'où Ton conclut,

ft— v7 — r*

Substituant les valeurs de X et de jul dans l'équation (4 ), on a

d'où Ton conclut

x vl

r—a'1 e2 — a2 on aura de même

y cm

En multipliant ces équations par x, y, s, et ajoutant, eu égard aux équations (10) et(ia),

C'est l'équation de la surface de Fonde. On ne doit pas oublier que r* y représente x2 -+- y* -+- z2.

112. Surfaces développables . — Lorsqu'un plan se meut suivant une loi déterminée, et telle, que son équation ne contierine qu'un seul paramétre arbitraire, l'enveloppe des positions de ce plan se nomme une surface dévefoppable.

La surface enveloppe étant le lieu des intersections successives de chaque position du plan enveloppé, avec la position infiniment voisine, une surface développable est le lieu d'une série de lignes droites, et, de plus, le plan tangent est le même tout le long de l'une de ces génératrices rectilignes.

Si l'équation du plan mobile est

l'équation de la surface développable s'obtiendra en éliminant a entre cette équation et l'équation

113. Surfaces canaux. — On nomme surface canal l'enveloppe des positions d'une sphère de rayon constant, dont le centre parcourt une courbe donnée. Une telle surface est le lieu des intersections de deux sphères infiniment voisines.

Or deux sphères infiniment voisines de même rayon se coupent évidemment sui-