LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 43N

verra que l'expression de la différentielle nihne de y, dny, est

(h) <f*y=f(x)dx\

Les équations (ij, (a), (3), . . ., (/*) donnent, si l'on veut, l'expression des dérivées successives en fonction des différentielles correspondantes, on en déduit :

134. Si l'on attribue à la variable a; des accroissements finis, égaux entre eux, et représentés par A#, la fonction 9 (x) prend les valeurs successives <p fjr », 9^-hAx;,

<p (a? h- 2A#}, . . . , <p (a? -h nkx), que nous représenterons par y, yM y2 y,t.

Posons, en adoptant une notation souvent employée,

Aj", — Aj = A')', A r2 — A y, = A'v, , A >'„-. — A/*»-* = *\>-- * ,

A»r, a> >• = A3r , A* y, - A3/, = A3 >', , . . . A'r,., — A2 vH., = A^V-3 ,

A1^, A'y, . . ., sont les différences secondes, troisièmes, etc., de y.

Si A x devient infiniment petit, Ay peut être remplacé par dy. Nous allons prouver que Ton peut de même remplacer A'jpar d*y9 A*v par d%y9 et ainsi de suite, en ne négligeant, dans chacune de ces substitutions, qu'une portion infiniment petite de la quantité que Ton évalue. Mais pour faire cette démonstration nous devons préalablement démontrer le théorème suivant :

135. Si une fonction ty (,x\ a j contient, outre la variable .r, une lettre a qui en est indépendante, et que cette fonction soit nulle, quelle que soit .v, lorsqu'on y suppose

a égal à zéro, il en est de même de la dérivée — —s— — •

Cette proposition devient évidente si Ton remarque que, la lettre ci étant traitée comme une constante dans la différentiation et la valeur de cette constante restant indéterminée, il est indifférent de la fixer avant ou après l'opération. Or en faisant a=o avant l'opération, la fonction devient nulle, et sa dérivée est par conséquent égale à zéro; il en est donc de même si Ton suppose a égal à zéro après la différentiation effectuée.

11 est évident, d'après cela, que si la fonction ty (x9 a , est infiniment petite, quel que soit x, pour une valeur infiniment petite de a, il en est de même de sa dé-

. . d-b [x, a) nvee ' v. '•