Cela posé, considérons la fonction

(0 y = j.xt,

et adoptant la notation du paragraphe précédent, on a

c étant une fonction de x et de Ax qui s'annule avec Ax. Si, dans les deux membres de l'équation (2), on change x en x -+- A a?, leurs accroissements divisés l'un et l'autre par Ax seront égaux, et l'on aura

Ajj Ajt Aj

Or, lorsque Ax tend vers zéro, * *x' a évidemment pour limite 9"(#), et-r- a pour limite zéro; car, s étant, quel que soit x% infiniment petit avec Ax, il en est de

As

même (135) de sa dérivée et par conséquent du rapport — qui diffère infiniment

peu de cette dérivée. Il résulte de là que Ax étant infiniment petit, et en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on a

tfy=f"(x)àx',

c'est-à-dire que, Ax étant infiniment petit, A2y est égal à d2y lorsqu'on néglige les infiniment petits du troisième ordre.

137. Il résulte de la démonstration précédente que Ax tendant vers zéro, -— a pour limite la seconde dérivée dey, 9" (x); posons donc

s, étant une fonction de a? et de A x qui s'annule avec Ax. Si, dans les deux membres de l'équation (1), on change x en x~+-Ax, leurs accroissements divisés l'un et l'autre par Ax seront égaux et l'on aura

A3r __ A?" (x) A«, &XZ àX &X

Or, lorsque Ax tend vers zéro, y ^x' a évidemment pour limite o"' (x) et -^ a

pour limite zéro, pour la même raison que dans le cas précédent; il en résulte que, Ax étant infiniment petit, on a, en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre,

A»r = f (x\àx*.

On verra absolument de la même manière que A4v peut être remplacé par ç,v'a:) Ax\ et que, généralement, Any est égal à <pn (x) Aaf lorsqu'on néglige les