LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

infiniment petits d'ordre w-f- j, en sorte que b!*y et dny sont deux infinimenf petits d'ordre n, dont le rapport a pour limite l'unité.

138. Il y a une différence essentielle entre les différentielles d'ordre supérieur et celles du premier ordre. Lorsque plusieurs variables sont tellement liées les unes aux autres, que toutes dépendent de l'une d'entre elles, les rapports de leurs différentielles du premier ordre sont complètement déterminés (57). Il n'en est pas de même pour les différentielles d'ordre supérieur, tant que l'on n'a pas fait choix d'une variable indépendante; cela tient à ce que, pour former les différences à2y9 A8/,. . . , que l'on peut remplacer, lorsqu'elles sont infiniment petites, par d*y, d*y, . . . , il faut attribuer à la variable principale x des accroissements successifs égaux entre eux, et cela distingue cette variable de toutes les autres dont les accroissements correspondants sont, en général, inégaux. Lorsque l'on considère, au contraire, les seules différences et différentielles du premier ordre, on ne donne à la variable x qu'un seul accroissement A x que rien ne distingue des accroissements correspondants des autres variables.

Remarquons enfin que les différentielles d'ordre supérieur au premier sont nulles pour la variable principale ou indépendante, et que l'on a évidemment, lorsque x est cette variable ,

d*x = o, dzx = o, . . . .

Détermination des dérivées successives d'une fonction. •

139. Pour former les dérivées successives d'une fonction, il suffit d'appliquer un nombre de fois convenable les méthodes connues qui fournissent les dérivées du premier ordre. Malheureusement les calculs se compliquent souvent de plus en plus, et il est presque indispensable de recourir à des artifices particuliers pour obtenir effectivement les dérivées d'un ordre élevé.

Nous allons donner quelques exemples de ces artifices.

Dérivées dun produit. — Si l'on représente par P et Q deux fonctions d'une même variable x, les règles connues donnent

rf(PQ) dx

d'(VQ) dx'

p rf'Q tfP dQ dx' dx dx