LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

dant la même limite; on peut prouver facilement que la première étant représentée

par S, la seconde est -S.

On a, en effet,

s = .iH-,^+...+ ^— ,--4-...=2U7r=rT-7;^

le signe V s'étendant à toutes les valeurs entières de n. On a aussi, en nommant S' la seconde somme,

et par suite

^ in —

4/î — 3 ^n — I in mais la somme S peut évidemment s'écrire

^ ^n—'i ^n — 7. L^n — i 4" donc

2d\An — i'~2n ^Tiij~~2d \n— i 4/?~2^2n — i in~~ i '

4^ — 2 2/1 ^n) ^ 4 et par suite, sans connaître la valeur de S, on est assuré que S' est égal à - S.

Séries imaginaires .

249. Lorsque les termes d'une série sont imaginaires, la convergence exige que les parties réelles et les coefficients de \j~^, dans chaque terme, forment séparément des séries convergentes.

Il est bien souvent commode de mettre une expression imaginaire a-^b\l— i sous la forme

P (cos?+ v' — I sin^);

on démontre aisément que "cela est toujours possible, en imposant même ii p la condition d'être positif. Ce coefficient, égal à sja' ^b-, se nomme le module de l'expression imaginaire dont l'angle <p s'appelle Y argument. Une série imaginaire

î/, + Ma -+- . . . H- '<n H- • • •

peut, par suite, s'écrire de la manière suivante :

p, (cos(p,-h v/^^sin(p,)-j-p, (cos<pj+ v^^ sin<p,) -t-. . .-l-p„ (cos^,,-!- s/— i sin ?„)+... ,

"" et la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit convergente est que les deux séries

p, COS ()>,-+- p-^ ces îp2+ . + p„ ces '3„-\r ■ ■ ■ ,

p, sin .f I + p2 sin cpj H- . . . 4- p„ sin 'j)„+ . . . ,

soient convergentes toutes deux.

Cette condition sera remplie évidemment si la série

Pi -\- pi-\-- • ■ -H P« + • • • >

est elle-même convergente; car tous les termes de cette série étant positifs, toute série dont les termes sont respectivement moindres en valeur absolue, est nécessairement convergente en même temps qu'elle. La réciproque n'est pas exacte, mais il est difficile de donner une règle générale de convergence. Nous nous bornerons à démontrer le théorème suivant, qui s'applique à une classe importante de séries imaginaires :

Si, dans la série ( I ) fi„-{-cux-ha-,x^-\-. . .-h n„ .r" -h . . . .

les coefficients a^, a,,a.,..., a,,,... diminuent et tendent vers zéro, de telle sorte que chacun soit plus petit que le précédent, on peut affirmer que la série est convergente pour toute valeur de x dont le module est l'unité, en exceptant la seule valeur x = i pour laquelle il y a doute.

Représentons par P„ la somme des /i +1 premiers termes de la série, et posons

(2) P„ = a,-\-a,x-\-- ■ ■ + (inX" ,

on en déduit,

Si l'on donne à x une valeur dont le module soit l'unité, c'est-à-dire de la forme

ces 'f H- v' — I sin ^ ,

a,,x"+* tend vers zéro, lorsque n augmente sans limite, à cause du facteur a«, et la série dont le terme général est

(4) ( a„ — rt„, ) .r" ,

est convergente; on a, en effet,

X" = COS Hf -h V — I sin «'f .

La partie réelle et la partie imaginaire de x" sont donc l'une et l'autre inférieures