LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Soit encore la série

2(l2)^ 3(13)^ ■■ n{\ny prenons (p{n) = n\n^ on aura

Ce produit tend vers zéro; de plus on a

//,.4 1 1 . /fc 1 . /i

On voit aisément que pour n infini, cette expression devient égale à l'unité, et par suite la série est convergente.

Séries dont les termes sont alternativement positifs et négatifs.

246. Lorsque les termes d'une série ne sont pas tous positifs, il semble difficile de donner des règles générales qui permettent de décider de sa convergence. Nous nous bornerons a quelques remarques fort simples, mais très-importantes.

Théorème I. — Lorsque les termes d'une série sont tels, qu'en substituant à chacun d'eux un terme positif de même valeur absolue, la série devient convergente, elle l'est également quels que soient les signes de ses tenues et l'ordre dans lequel on les écrit.

On peut en effet considérer les termes positifs et les termes négatifs comme formant deux séries distinctes, convergentes toutes deux ; puisque la somme des uns et des autres pris avec le même signe reste, en effet, par hypotbèse, au-dessous d'une certaine limite, il en est à fortiori de même de l'une quelconque des deux qui forme, par suite, une série convergente.

Cela posé, si l'on prend dans la série un nombre de termes indéfiniment croissant, le nombre des termes positifs et celui des termes négatifs qui y figureront iront l'un et l'autre en augmentant sans limite, et la somme différera par conséquent de moins en moins de la différence des limites des deux séries dont nous avons parlé.

Cette conclusion est indépendante de l'ordre dans lequel les termes sont écrits, et il est par conséquent permis lîe choisir celui qu'on voudra, pourvu, bien entend», que leurs valeurs absolues, prises avec le même signe, forment, comme on l'a supposé, une série convergente.

247. La réciproque du théorème précédent n'est pas exacte; une série peut être convergente, quoique la somme des valeurs absolues de ses termes soit infinie. Nous démontrerons seulement le théorème suivant :

Théorème II. — Lorsque les termes d'une série sont alternativement positif s et négatifs et qu'ils diminuent sans limite, chacun étant moindre que le précédent, la série est convergente.

Soit, en effet, la série à termes réels

dont les termes alternativement positifs et négatifs diminuent sans limite. Arrêtons-nous successivement au terme w„, puis au terme w,,+, et posons

S„ = i<o — M, H- Mi + ... -t- u„ , S„+, == Mo — ?/, H- Mj + . . . H- M„ — «„+,.

Quelque loin que l'on prolonge la série au delà de u,i et à quelque terme que l'on s'arrête, la somme sera plus grande que S„ et moindre que S„+,, car la somme des termes ajoutés à S„ est de la forme

et est par conséquent négative.

La somme des termes ajoutés à S„+, est au contraire positive, car on peut les grouper comme il suit :

( Un+-, M„+3 ) + ( W«+l — Un+i, )+..-,

en sorte que la série prolongée autant qu'on le voudra est constamment comprise entre deux nombres S,, et S^+, dont la différence m,,+, peut être aussi petite qu'on le désire. La convergence est par suite évidente.

248. Lorsque les termes d'une série pris en valeur absolue ne forment pas une série convergente, et que la convergence résulte par conséquent des signes qu'on leur attribue, il n'est pas permis de changer l'ordre dans lequel ils sont écrits, et l'on pourrait non-seulement altérer par là la valeur de la série, mais encore lui faire perdre sa convergence. ,

Dirichlet, qui a le premier appelé sur ce point l'attention des géomètres, en a donné l'exemple suivant : •

Les séries

qui sont composées des mêmes termes affectés des mêmes signes, n'ont pas cepen-