LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
et, en remplaçant la somme de chacune des séries inscrites dans une ligne horizontale, par sa valeur connue, on a enfin
Si l'on suppose 2 = 12, la série qui forme le second membre est très-convergente, et la somme de ses \l\ premiers termes donne 0,0799.57427; les 1 1 premiers termes de la série proposée ont d'ailleurs pour somme 1 ,558o3 223479, et la somme totale est, par suite, avec une grande approximation,
Nous verrons plus tard que cette somme est g-
Nous reviendrons dans un autre chapitre sur les développements analogues à ceux sur lesquels Stirling fait reposer sa méthode.
Méthode de M. Kummer.
255. Il existe une méthode due à M. Kummer, et fort utile souvent pour calculer avec une grande approximation et très-rapidement la limite de la somme des termes d'une série peu convergente à termes positifs.
Soit la série convergente
"0 H- "1 -t- Ui -f- • • H- '<<. + ''"+1 + '^"+^ -h • • • :
partageons-la en deux parties :
S„ = ?Ao H- «1 H- • • • + ''« ' R = ?/„^., -)- ?/„+, -h «„+. + . . . .
S« étant la somme d'un nombre limité de termes, on le calculera directement. Quant au reste R, nous devons nous borner à avoir sa valeur approchée.
Pour obtenir cette valeur, on détermine deux fonctions du nombre n, o[n) et f [n), assujetties aux conditions suivantes :
r« Le produit o [n) u„ tend vers zéro lorsque n augmente;
2'^ /[n] s'approche indéfiniment de l'unité lorsque n augmente;
3^ Il existe entre les fonctions 9 et/ la relation
qui a lieu pour toutes les valeurs de n.
Faisons voir d'abord que, ces conditions étant supposées remplies, on peut en déduire une valeur approchée de R : on aura, en changeant dans l'équation (i) n eu
n ^ I, n -\- 9., /; 4- '^,..., et chassant les dénominateurs,
/( n ) Un+\ = (f{n)Un — ^ ( n H- I ) u,,^, ,
/( Ai + I ) M„+, = o ( n + I ) Un+^ '^ ( /Z + ?. ) Un+2 ,
/ ( Al -h 2 ) Ua+, = cp ( Al -f- 2 ) Un+2 ? ( Al + 3 ) M„+, ,
/( n-hff) u,+k+, =z^{n-hk) Un+k — * ( /z + /r -M ) u„+k+^, Kn ajoutant toutes ces équations, on a
( 2 ) /( AA ) A/„+, +/( A? + I ) Un+, +/( Ai + 2 ) M„+3 -+- . . . +/( H -f- k)Un+li+> . . . = y ( Al ) AA„ .
^^ fi^)' f{^ -+- O'/l'* + 2 ),.-., différant par hypothèse fort peu de l'unité, le premier membre diffère fort peu de R, dont la valeur approchée est par conséquent
On peut même remarquer que la formule (2) donne en général deux limites très-rapprochées entre lesquelles est compris le reste R. En effet, de l'équation
(P(aa)m„=/(aa)«„^, +/(aa -h I )«,,+, H-. . .
on déduit
Or les fonctions/(w),/(n + i),/(n + 2),..., tendant vers l'unité, il arrivera en général qu'elles seront toutes plus grandes que l'unité et décroissantes, ou toutes moindres que l'unité et croissantes. Dans le premier cas, les fractions qui multiplientw„+,, M„+o,..., sont plus grandes que l'unité dans l'équation (2), et moindres que l'unité dans l'équation (3) : on a donc
Dans le second cas, /(«), /(/i 4- 1),..., étant moindres que l'unité, on aura, au contraire,
et par conséquent R est compris dans les deux cas entre deux limites connues, qui sont très-rapprochées, puisque f(n) diffère peu de l'unité.
Toute la difficulté se réduit donc à la détermination des fonctions 9 et /, el il est clair que les conditions qui leur sont imposées laissent subsister une grande indétermination.
