LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
Séries ordonnées suivant les puissances d'une variable.
258. On fait un fréquent usage de séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une lettre qui reste indéterminée. Soit
( A ) «u H- rt, .r H- ai jr- H- . . . -|- «„ x" -h . . .
une telle série.
L'étude de la convergence des séries de cette forme conduit au théorème suivant, qui est remarquable et important :
Si dans la série ( A ) les coefficients a^, , a , , . . . a„ sont des constantes données et x une 7)ariable pouvant recevoir toutes les valeurs réelles ou imaginaires, la série étant convergente pour une valeur x = Xt de la variable, l'est à fortiori pour toute valeur de X dont le module est inférieur à celui de x^ .
La série étant, en effet, convergente pour x = x^, cela exige évidemment que le terme de rang n
tende vers zéro lorsque n augmente. D'après cela, soit M le plus grand module des termes de la série
Si l'on substitue à x une valeur nouvelle x^, la série deviendra
(?■) ■ ao-\- aiX-..-{-a2x\-\-. . .,
que l'on peut écrire
Soit rie module du rapport -^i les termes de la série (3) ont respectivement des modules moindres que ceux de la série à termes positifs
M4-Mr4-M/-'+Mr^-f-. . .4-Mr" + . ..,
qui évidemment est convergente; car c'est une progression décroissante. La série (3) est donc à fortiori convergente.
La démonstration précédente, sans qu'il y ait rien à y changer, prouve le théorème suivant :
Si pour une valeur x = x^ de la lettre ordonnatrice les termes de la série
Ov -h a,x -h a,x^ -h ... H- a„x" -+-•••
ont des modules inférieurs à un nombre fixe M, pour toute valeur de x dont le module
est moindre que celui de Xf , la série est convergente.
259. Si une série ordonnée suivant les puissances de x est divergente pour une valeur Xf de la variable x, elle est à fortiori divergente lorsqu'on donne à x une valeur x^ de module supérieur à celui de x,.
Si, en effet, pour x = x^h série était convergente, elle le serait (258) pour la valeur x = Xt dont le module est moindre.
Ainsi donc les valeurs de x qui rendent convergente une série de la forme considérée sont toujours celles dont le module est inférieur à une certaine limite.
Si l'on considère, par exemple, la série
(i) i-hJt'-h^^-h.r3 + . . .-f-.r"H-. . .,
elle est convergente pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur à l'unité et divergente pour celles dont le module est plus grand que l'unité.
En général, il y a doute pour les valeurs de x dont le module est précisément égal à la limite. Dans le cas de la progression (i), si l'on donne à x une valeur dont le module soit l'unité
X = cos cp + y^ — I sin ip, la série devient
i j cos9 + cos2(p + cos 3 (f-\-... -h cos II <f -{-...-]- \/ — I (sin^-l-sin ■2.-f-\-.. .-h sin «ly -+-... );
elle n'est pas convergente, car les termes de la partie réelle et ceux de la partie imaginaire ne tendent pas vers zéro avec n.
260. Un grand nombre de tbéorèmes relatifs aux expressions imaginaires s'expriment ou se démontrent avec plus de simplicité ou d'élégance à l'aide d'un mode de représentation dont nous ferons un fréquent usage. L'expression a-r-h\l—i est considérée comme correspondant a un point qui a sur un plan, par rapport à des axes de coordonnées rectangulaires, les coordonnées a et b. La distance de ce point à l'origine est égale au module de l'expression imaginaire, et l'angle qu'elle forme avec l'axe des x est V argument.
La somme de deux expressions imaginaires correspondant respectivement aux points BetC est évidemment représentée par l'extrémité d'une droite menée par l'un des points, parallèle et égale au rayon vecteur qui réunit l'autre à l'origine des coordonnées. La seule inspection de la figure permet d'en conclure que le module de la somme de deux expressions imaginaires est moindre que la somme des modules, et ce théorème s'étend par suite évidemment à un nombre quelconque d'expressions imaginaires.
