THÉORÈME DE TAYLOR

Démonstration de Taylor.

272. Le théorème de Taylor permet de développer une fonction quelconque d'une variable en série ordonnée suivant les puissances de cette variable ou de l'accroissement qu'on lui attribue à partir d'une valeur arbitrairement fixée. La généralité de la formule est restreinte, il est vrai, par des conditions de convergence qui sont indispensables et que cependant les géomètres n'ont étudiées que longtemps après la découverte du théorème. Cette condition essentielle, à laquelle Taylor n'avait aucun égard, rend inacceptable pour nous la démonstration qui l'a conduit à sa mémorable découverte, et que nous commencerons cependant par faire

connaître.

Soit ^{x) une fonction de la variable x-, changeons-y successivement a; en x■^^x, x+^it^x, x-\- 3A^,..., ^ + /lA^, et considérons la suite

que nous écrirons, pour abréger,

r, jo r^,..., reposons, comme nous l'avons fait (134),

y^-y=^y, j, — J, = Aj,,..., j,— J„.= A)''„,,

r„ peut s'exprimer, comme on sait, en fonction dey, Ay, A-^y,..., A"y, et l on a identiquement

(,) r.-^r^n^r-\- -^77^ ^IrH ,7^73 ^y^.^■^^)^ .

Cette formule est bien facile à vérifier quand on suppose n = ^, n = 3,..., et 1 on