LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

peut prouver très-aisément que si elle est vraie pour une valeur de n, elle l'est, par cela même, pour la valeur immédiatement supérieure.

Cela posé, si dans l'identité (i) on suppose n^x = li, et que l'on remplace n par

la valeur --^ j« deviendra ©(^4- A), et l'on aura

et si, laissant h constant, on l'ait croître n indéfiniment, Aa? devient infiniment petit, et l'équation, dont le second membre se prolonge alors indéfiniment, devient

Cette démonstration n'est pas rigoureuse, et c'est pour cela que nous nous bornons à en indiquer rapidement le principe : lorsqu'on suppose, en effet, que n augmente indéfiniment, il existe toujours dans le second membre de l'équation (2) un nombre de plus en plus grand de termes qui n'ont pas pour limites les termes correspondants de l'équation (3). Le terme général est, en effet,

h. [Il — A^) [h — Q.^x)...{h — {p — î) A^j ^|' y 1.2.3...» A,r/'

en lui assignant pour limite

hp dPy

r . 2 . 3 . . . /? dxP

On suppose implicitement que {p — i) Ax tende vers zéro, c'est-à-dire que j) ne soit pas comparable an; or le nombre des termes pour lesquels cette condition n'est pas remplie augmente indéfiniment avec n.

La démonstration de Taylor peut cependant être complétée et conduire à une preuve rigoureuse du théorème; mais il est beaucoup plus simple d'adopter une marche toute différente, et qui conduit immédiatement à une expression de l'erreur commise lorsque l'on arrête la série après l'un quelconque de ses termes.

Expî^ession du reste de la série.

273. Démontrons d'abord un lemine fort simple dont nous avons a faire usage.

Lorsqu'une fonction continue 9(0?) est nulle pour deux valeurs a et Z> de la variable dont elle dépend, la dérivée 9' (a?) de cette fonction, si elle est elle-même continue, devient nulle pour une valeur de x comprise entre a et b.

Si, en effet, la dérivée a^'ix) ne s'annulait pas, elle aurait toujours le même signe 1. . 36

entre les limites a et b, la fonction 9 (^) serait, par conséquent, constamment croissante ou constamment décroissante lorsque x varierait de la valeur a à la valeur b, et ne pourrait pas, par conséquent, être nulle aux deux limites. Cela posé, considérons la formule

dans laquelle X et a; désignent deux nombres donnés quelconques.

Cherchons à déterminer l'expression du nombre R qui rend cette formule exacte; pour cela, posons

fX — ,r^''+'

P étant un nombre inconnu qu'il s'agit de déterminer. Si l'on remplace x par une lettre variable z susceptible de prendre toutes les valeurs, la différence des deux membres de (i) deviendra

y(X)-y(z)-(X-z)y'(z)-'^~^-\-(^)-.. — i^^lii:y»(^) i^-^^r^ p