LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

trouvée par Taylor, qui est exacte, par conséquent, toutes les fois que le dernier

terme

tend vers zéro lorsque n augmente.

Le reste renfermant dans son expression un nombre indéterminé Q, il sera quelquefois difficile de décider s'il tend ou non vers zéro. On peut remarquer toutefois

que le facteur ^ — a toujours une limite nulle, car, en v chancçeant n en

« + i, il se multiplie par ^^-^» qui, quel que soit h, tend vers zéro. Quant à

l'autre facteur, 9"+' {x -h ôh), il est en général fort compliqué, et la présence du nombre indéterminé Q en rend souvent l'élude difficile; nous y reviendrons dans plusieurs cas particuliers.

Seconde /orme du reste.

274. L'expression que nous venons de trouver pour le reste est due à Lagrange ; on peut, en modifiant légèrement la démonstration, lui donner une forme différente et quelquefois préférable.

Si dans l'équation

on pose

P étant un nombre inconnu tel que l'équation devienne exacte, il est évident que la différence

est nulle quand on suppose ^ = ^, et aussi quand ^ = X; la dérivée par rapport à z de cette expression, c'est-à-dire

est donc nulle pour une valeur de z comprise entre X et x, c'est-à-dire pour

9 étant un nombre convenablement choisi entre zéro et l'unité, et l'on a, par conséquent,

P = '-^-"'•'-in-^l" ,- [. + 9 ( X - ^ )],