MVRH SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

et par conséquenl

Si l'on pose X - -r = A, la formule ( i ) devient

Cette troisième forme du reste a été trouvée par M. Sclilomilch et par M. Roche. Accroissement infiniment petit (V une fonction.

276. Lorsque, dans le développement de (^{x + h), on suppose h infiniment petit, les termes successifs du développement deviennent des infiniment petits dont l'ordre va en augmentant, et quel que soit celui auquel on s'arrête, l'erreur commise est un infiniment petit d'ordre supérieur au dernier des termes conservés. Cette proposition importante se déduit aisément de la considération de l'une quelconque des formes trouvées pour le reste. Si l'on pose, en effet,

Iv h"

l'erreur commise est (273)

^"+^{x-hOh),

c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre n+ i, lorsque A est infiniment petit du premier ordre, et la proposition ne peut être en défaut que dans le cas exceptionnel où l'on a 9"^' (x) = oo . Si l'on représente h par dx et 9 {x) par j, la formule de Taylor peut s'écrire de la manière suivante :

<f{x-^h) =7+ r/j-h ^ dy-i- g d^x + - ••+, ^3 ,, ^"J+- • • ;

elle est souvent employée sous cette forme, et l'on doit se rappeler que, dx étant infiniment petit, l'erreur commise lorsqu'on arrête le développement est un infiniment petit d'ordre supérieur à celui du dernier terme conservé.

Remarque sur la série de Taylor.

277. La formule de Taylor ainsi bornée au cas d'un accroissement infiniment petit de la variable équivaut à une série de théorèmes, tous dignes de remarque, et

qui au fond n'expriment rien autre chose que la continuité de la fonction et de ses dérivées :

1° Quelle que soit la fonction «p (a?), la différence ç (a; + A) — (p{x), où h est infiniment petit, peut être considérée comme proportionnelle a h et mise sous la forme /t^' [x), l'erreur commise étant infiniment petite par rapport à la différence même que l'on évalue.

2° L'excès de la différence (p{ûo-hh) — (p {.x) sur la valeur approchée h(p' (x) peut être considéré comme proportionnel à h-, et la différence

(p{x -\-h) —cpix) ~ h(p' {x) être mise sous la forme — '/'(a?), l'erreur commise

étant infiniment petite par rapport à la quantité même que l'on évalue.

3" L'erreur commise dans cette nouvelle approximation peut être considérée comme proportionnelle à A^ et la différence

rf{x-i-h) — f{a;) — h(f'{x) a"{x),

mise sous la fornîe ^'/' [x), l'erreur commise étant infiniment petite par rapport à la quantité évaluée.

Ainsi de suite indéfiniment.

La fonction étant entièrement arbitraire, on peut évidemment la choisir de manière à mettre les théorèmes précédents en défaut pour une valeur désignée de x; mais cela ne peut avoir lieu que pour des valeurs singulières de la variable, et dans ce cas l'une des dérivées devient infinie.

La démonstration directe des propositions précédentes est facile. Posons d'abord

¥{x,h) étant (276), pour une valeur infiniment petite de h, infiniment petit par rapport à ho' [x). Prenons les dérivées par rapport à h des deux membres de cette équation, nous aurons

dVix, h)

o [x-^ II) /(^i

dit

Mais, en vertu du principe démontré pour une fonction quelconque (45), o' (x+h) — (p'{x) peut être réduit à Aç/" {x) quand on néglige une partie infiniment petite de sa valeur.

Si donc on construit la droite dont l'ordonnée est ho" [x), h étant l'abscisse, la fonction F (x, h) est l'aire comprise entre l'axe des X et une courbe dont l'ordonnée diffère de celle de cette droite d'une portion infiniment petite de sa valeur,

et par conséquent, F (x, h) est égal à — çj" (x), en négligeant une portion infini-