Si dans la formule

^[x-^h) = ^{x)-^h<^'{x)+ — t^" {x)^...-^ ^ — f[x)-^ ^'■+^[jc + bli)

on suppose ^ = 0, puis que l'on remplace la lettre h par la lettre x, on aura

\.n 1.1.6... n \ .1... [n-hf)

et la série indéfinie ordonnée suivant les puissances de x, que l'on obtient en faisant croître n indéfiniment, a pour limite (p{x), toutes les fois que le reste tend vers zéro.

Cette série est désignée sous le nom de série de Maclaurin, quoiqu'elle ne soit qu'un cas particulier de celle de Taylor, et que Maclaurin, en la faisant connaître dans son Traité des Fluxions, ajoute immédiatement : This theorem was given hy Taylor.

279. 11 est aisé devoir que le seul développement possible d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances de la variable est celui qui résulte du théorème de

288 PREiMIÈRE PARTIE. - CALCUI. DIFFÉRENTIEL.

Maclaurin. Soil, en effet,

(j. ( cr ) = A + A , X -h A, .r= + . . . H- A„ ^" -h . . .

un développement qui, comme on sait (258), est convergent pour les valeurs de x inférieures à une certaine limite, et dont on obtient les dérivées successives en prenant celles (267) de ses différents termes. D'après cela, si l'on forme ©'(.r), o"{x),...,^"[x), et que l'on y suppose ensuite a? = o, on aura évidemment

A = e)(o), A, = <p'(o), 2A,= (p"(o), '?..3.A, = <f"'(o),. . .,. \ .-2.3. . .n\„ = f{o), et les coefficients sont, par conséquent, ceux de la série de Maclaurin.

Quelques développements en série.

280. Le théorème de Taylor est applicable à toutes les fonctions, et le nombre des séries que l'on en peut déduire est illimité. Nous nous bornerons à l'appliquer ici à la démonstration des développements les plus célèbres et les plus souvent employés.

Développement de a^ . — La formule

<s^{x)=<^[o)-\-xm'{o)-\ cp"(o) + ...-h ?"(o)H -, . (p"+'(6x)

donne

X ,^ > X" ,, , .z"+' la V'-^' f,^

a^^,^x\aA (l« =-t-...H la "H ^^-^ -a^^.

Quelle que soit la valeur de x, le reste

tend vers zéro lorsque n augmente. On peut, en effet, l'écrire de la manière suivante :

gj. x\a x\a x\a x\a

Il est clair qu'à partir de celui d'un certain rang, tous les facteurs de ce produit sont aussi petits que l'on veut; leur produit converge, par conséquent, vers zéro, et l'on a pour toute valeur de x

a'=r-h.rla-+--— (la)^-l-...H ~ (la)"-