I . '2 1.2.3 ' I . 2 . 3 ... Ai

En bornant le développement à son premier terme, on a

Si l'on pose « = -> ^t = -^ on déduit de là, pour le logarithme d'un nombre --, une expression qui sera utilisée plus tard,

281. Développement de\[i + x). — La formule de Maclaurin donne immédiatement

\{i-hx) = x ^T ~~- ■ •+( — 0"^' — (' 4-6^:^)-".

Si l'on suppose x plus grand que l'unité en valeur absolue, la série à laquelle le second membre se réduit quand n est infini, n'est pas convergente, car le rapport d'un terme au précédent a pour limite x, et cette limite étant plus grande que l'unité, les termes vont en croissant. C'est donc seulement pour des valeurs de œ comprises entre — i et -h i qu'il faut chercher si le reste tend vers zéro. Si a? est positif et moindre que l'unité, le reste

— (i4- Ox)-" n

tend évidemment vers zéro. Car on peut l'écrire

n V I + Ox

et la fraction — étant moindre que 4>, sa puissance n^""' tend vers zéro, et il

en est, à fortiori, de même du produit de cette puissance par -• On a donc, pour les valeurs de x comprises entre o et i^

cette série étant applicable au cas extrême où l'on a a- = i, car dans ce cas le reste I. 3-

tend vers zéro, à cause du facteur -■. qui est multiplié par une quantité é.videm-

ment moindre que l'unité.

Si X est négatif et qu'on le représente par — x' , on ne voit pas immédiatement quelle est, pour des valeurs croissantes de n, la limite du reste

et l'emploi de la seconde forme du reste est ici très-utile.

(]ette seconde forme donne (274) dans le cas actuel, pour l'expression du reste de la série,

\x-(ix' )

Or, la fraction ' est moindre que l'unité et en diffère, quel que soit h, d'une

quantité finie. Sa puissance [n — i)"^'«« tend donc vers zéro, et, par conséquent, le reste a aussi pour limite zéro, en sorte que la série de Taylor est dans ce cas convergente et représente l (i — ^-'j.

On a donc enfin

pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et + i . Nous avons fait remarquer que cette' formule est applicable au cas extrême où l'on a ^= + i; elle l'est également au cas où l'on ^ x — — \, car alors le premier membre est égal à — 2o , et le second se change en une série divergente,

282. La série qui représente l (i h- a?) peut évidemment s'écrire de la manière suivante :

En réduisant, en effet, les termes semblables dont le nombre est au plus égal à deux, on vérifie l'identité de cette formule avec la précédente. Si l'on suppose cependant ^ = I, la formule (i) n'est plus exacte, car elle donnerait I2 = o. Cette anomalie tient à ce que pour la valeur a; = 1 le développement de l (i -^x) n'est pas convergent indépendamment des signes de ses termes, et que l'on n'a pas, dans ce cas, le droit d'intervertir l'ordre des termes positifs et négatifs.