LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 29l

283. Développement de (iH-a?)'". — En appliquant la formule générale, on

trouve

m [m — I ) m [m — i ) . . . ( /// — ii -\- 2

( I 4- ,r )'" = I -(- mx H-

I 4- ,r )'" = I -(- mx H '■ .r'H- . . . H r x"

' I . ■>. \ .1.6 ... Il — I

^-^-tjJ ^"(, 4- ôx )"'-".

Pour que la série indéfinie

\ -\- nix-\ ^ -t-' H- . . ■ + ^5 ^

soit convergente, il faut que x ne surpasse pas l'unité en valeur absolue; le rapport d'un terme au précédent est, en effet,

et il a pour limite — x, lorsque n augmente indéfiniment. Il ne peut donc y avoir convergence que pour les valeurs de x comprises entre — i et H- 1 , et c'est dans ce cas seulement qu'il y a lieu d'examiner si le reste tend vers zéro. Ce reste

tend vers zérî) si x est positif; on peut, en effet, l'écrire

ro^ rm(m — t)...(m — ;^+r) 1 V i 1

Or le second facteur est moindre que l'unité, et le premier tend vers zéro; car si n augmente d'une unité, il se multiplie par

qui diffère peu de ~- x lorsque n est grand, n augmentant indéfiniment, le produit placé dans la première parenthèse de l'expression (2) se multipliera successivement par un nombre aussi considérable qu'on le voudra de facteurs peu différents de —X, et dont le produit tend évidemment vers zéro. On a donc, pour des valeurs positives de x inférieures à l'unité,

, m(m — i) , m(nt — i). . .{m — n-hi)

i4-:i; -"= i-H mx-h ~ ^ x'-h. . .H ^ ■ -x''-h

Si X est négatif, le raisonnement précédent n'est plus applicable, et il faut

i92 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

recourir à la seconde forme du reste, qui est, dans le cas actuel,

Le facteur

i .2. . .{n — i) tend vers zéro, d'après ce qui a été dit; l'autre facteur

( I — e )«-• {i-+-Bx )"-" devient, en remplaçant x, qui est négatif, par — x',

Or la fraction r— r est moindre que l'unité, de même que la différence i — Ox';

cette expression est donc moindre que l'unité, et son produit par l'autre facteur, qui tend vers zéro, a nécessairement pour limite zéro. On a donc enfin, pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et H- i,

I + X '" -— I H- mx H ^^ x^-+- ... H ^^ — ^ x"-h-. . ■ .

On déduira sans peine du développement précédent celui de (57 -h h)'", car on a

{x-\-hr=h"' (1 + ^)"''

et pourvu que x soit plus grand que h,

,. , m. (m — 1),„ , ni . m — i]...'m -+- n-h^) ,

[x+h f = o-'^-h inhx'"-' H ^ ■ h^ x"'-"" -f- . . . H ^ h"x"-" +

284. La série que nous venons d'obtenir est trop célèbre et trop fréquemment employée pour que nous laissions de côté le cas où l'on a a? = it i , et auquel les raisonnements précédents ne sont pas applicables.

La série fi H- x)"^ devient dans le cas de .r = i,

, , m.im — 1) m. (m — 1)(/>?— 2) mJin — i) — (m — n-+-\) ,

et, dans le cas de ^ — — r ,

, , m.(m — i) m(m — i)(m — 2) , m. (m — i)... {m — Ai+i)

2 i-mH ^ ^ '-^ ^+...± — ■ ^ =f=....