LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Cherchons d'ahord si les termes de ces séries tendent vers zéro; car c'est là une condition indispensable de convergence. Le rapport d'un terme au précédent est, en valeur absolue,

Si m est compris entre — i et — so , chaque terme surpasse donc le précédent en valeur absolue, et la convergence est impossible. Dans le cas extrême o\xm — — \, tous les termes des séries (i) et (2) ont même valeur absolue, et il ne peut pas non plus y avoir convergence.

Considérons donc le cas où m est compris entre — i et -+- ce .

Le rapport ^^~"^ étant négatif, la série (i) a ses termes alternativement positifs

et négatifs, et puisqu'ils vont en diminuant, il y a convergence.

La règle de Gauss (242), appliquée à la série (2), montre quelle est convergente lorsque m est positif et divergente dans le cas contraire.

En résumé: la série qui donne (i -f-i)'", c'est-à-dire

est divergente lorsque m est compris entre — i et — 3c , et dans ce cas les termes ne tendent pas vers zéro. Lorsque m est compris entre — 1 et + 30 , les termes tendent vers zéro et sont alternativement positifs et négatifs, la série est convergente.

Dans le cas où m = — I, tous les termes sont égaux en valeur absolue, et l'on ne peut pas dire qu'il y ait convergence.

Si l'on suppose a; = — i , la série devient

elle est convergente pour les valeurs positives de m et divergente pour les valeurs négatives. Il résulte d'ailleurs de ce qui a été dit (265) que la série représente dans le premier cas (i — i)'", et lorsque m est négatif, cette expression devenant infinie, la série divergente peut être considérée comme donnant aussi un résultat acceptable.