La formule

( I ) ( I -t- ^ )"' = I + mx H ■ X

m.im — 1) m A m — \] [m — 2

dont nous venons de discuter les conditions de convergence et d'exactitude, est importante par ses nombreuses applications et tient de plus une place importante dans l'histoire de la science: c'est la première qu'ait connue Newton, et quoiqu'il ne l'ait publiée que plus tard, elle a précédé la découverte de la série de Mercator et de celle de Brounker.

Cette formule est encore remarquable par la facilité avec laquelle on eu déduit d'autres séries très-connues et très-importantes.

H .On p^t mettre l'équation (i) sous la forme

■ — =xH x'-\-^ ^-^ ' x'-h

Si l'on fait tendre m vers zéro, le premier membre, qui peut s'écrire

a évidemment pour limite la dérivée de (i + x)"^ par rapport à m, pour la valeur particulière m = o, c'est-à-dire 1 (i -+- a?). En faisant m = o dans le second membre , on aura donc le développement de l (i + ao),