in — I m [m — \\{in — 2).. [n

et par suite le produit 1.2. 3... n.i".'^„ a pour terme général

m Ain — I . . An — im~i- i

2.4. • • 2m. (2 « — i) [in— 3) . . .[i}i — ini + i) c'est-à-dire, en supprimant les facteurs communs aux deux termes du coefficient,

± — i ■ — r— ^ {in—im](in — 2 m — i ... n — im-{- i)x" '"',

OU enfin

n.[n— I ) . . . ( n — ni+ \) d" { x^"-""" ) 1 . 2 . 3 ... m dx"

et par conséquent le produit i .2.3... ;z 2".X" est la /i'^"'^ dérivée par rapport à j: du polynôme,

on a donc enfin

2" . i . 2 . 3 . . . n dx"

et

(i — ly-X-^-o?) '-"^i+Xia -t- X.a^ -f-. . . + X„a" +

Celte formule est célèbre et nous la retrouverons de plusieurs manières.

289. Développemenl de sin x. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

sin jf = X

•Pour toute valeur de x, le terme complémentaire tend vers zéro , en sorte que l'on a toujours

1.2.3 i.i>.3.4-o 1.2. 3. 4-5. 6. 7 290. Développement de cos x. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

x'' X* x^" ces ô X ces ^ = I \ —y — ... H — 7- ,

et l'on voit, comme dans le cas précédent, que le terme complémentaire tend vers zéro lorsque n augmente, en sorte que l'on a, pour toute valeur de x,

COS X := l r

291 . Développement de cos /nœ en série ordonnée suivant les puissances de sin a;. — La formule de Maclaurin permettant de développer une fonction suivant les puissances de la variable, permet par cela même de la développer suivant les puissances d'une autre fonction arbitrairement choisie, car rien n'empêche de prendre cette seconde fonction comme variable.

Si, par exemple, on veut développer cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sin^, on posera sin^— j, et cos m^ deviendra cos m. (arc sin r). Or on a trouvé ( 151 ) pour x = o ,

û?-"'-^ cos w arc sin a; ^. . , ,w ^, , ^ 1 -j-^^ =^-ij''+'m-.(m^-4j(m^— i6)...(m=-4w^)cosm/.77,

d^"-*-' cos m arc sin X , . ,, , . ., . . , . .^„^, =ipi— i)"[m' — i)( m-— 9) — [m- — (2n— i j-JsinA;//< r,

k désignant un nombre entier arbitraire, et le signe — de la seconde formule cor-