LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

respondant au cas où ce nombre est pair; la formule de Maclaurin donne par conséquent

CCS m arcsin) =cosm/i7i: i )-' + -^—7 — y* „ ) r r — - }'"-+-• • ■

=^ /» sin mh . ]j - -TT^r-^ ^ ..2.3.4.5' y^' - -y

le signe — devant être pris lorsque k est pair.

Si l'on remplace y par sa valeur, la formule précédente devient

, r m^ . m- (m'' — 4) • , m'^im^ — A)lm^—]6) . ~]

CCS mx = ces niii 7; i sin^ x H — .. . sin^ x ^ „ . ^ ^. sin' x -f- . . .

/ r . f^^ — I . ("î' — oi'^'"— Qj . "1

zrz m s\n m Iit: \ sm X ^-sin^xH ,, / r sin''x — ... •

11 ne faut pas s'étonner de voir le second membre contenir un nombre indéterminé k. On sait en effet que, sin a; étant donné, co&mx n'est pas déterminé, et peut avoir un nombre infini de valeurs si m est incommensurable, le développement de cette fonction, pour être général, doit donc être comme elle indéterminé.

Si l'on choisit une valeur de oc, pour déterminer le nombre entier k, qui lui correspond et qui rend la formule précédente exacte, on se reportera à ce qui a été dit( 151 ). cos mkn est la valeur que prend cos w^ lorsque sin a; est nul, et par suite l'hypothèse sin a^ = o répond à a? = kn. Si sin x croit à partir de zéro jusqu'à

l'unité, X variera de kn k kr^ -\ — si ^ est pair, et de ^tt à ^;r si ^ est impair.

Lorsque x désigne le plus petit des arcs correspondant au sinus donné, on a ^- := o et

m' . ., m'^ini- — 4) • in-ini- — ^){ni---\^) . ,

(losnix = I sui-\x H ^ T—^ sui^ jt ■ .7 / r- /- siu'.r-t-. . . ,

c'est la formule donnée par Euler et Lagrange, qui ne répond, comme on voit, qu'à un cas particulier.

292. Lorsque m est entier, on a sinmA-7: = o et cos/??X:7:= rt r. Si de plus m est pair, la série se réduit à un nombre limité de tern)es. On a, par exemple, en faisant w=: 2, m = 4» m =: Ç) ,

cos2ar=i — 2sin^x,

cos 4-2^ =1 — 8 sin' .r -1-8 sin* .2:,

cosr)x= I — 18 sin- x-h 48 sin* .r — 32 sin^x.

293. Développement de sin mx simani les puissances de sin x. — Si l'on pose I. ^ 38

sin j:'=j, la fonction sin ma? devient sin (marcsinj) : or on a trouvé (153;, pour

(l^"-^^sin marc sin y

(Z^"-^' sin w arc sin y

df-"-^'

et par suite le théorème de Maclaurin donne, en remplaçant/ par sin x,

sm mx=sinmkT: \ i sm'^H ^ — ^--^sm^j; ^ — — „— , ,, ^ sm^r-t-...

, • , r . ('W' — i)sin^^ i m'' — i) ( m- — q) . ^ ± m cos /??/(■ TT sni X' — -— h -^ \ , ^ ■ suV-x

sin X-

k est un nombre entier qui reste arbitraire tant que l'arc x n'est donné que par son sinus. Dans le second terme, il faut prendre le signe + si ^ est pair, et le signe — si ^ est impair.

La formule suppose, pour sina? = o, sinmo: = sin mkn ; lorsque sin x augmente

à partir de zéro, l'angle^, d'abord égala ^7î, augmente jusqu'à (^+^j7r si k est

pair et diminue jusqu'à ( ^— -] ;r si ^ est impair. Dans le premier cas il faut prendre le signe -1- du second terme, et dans le second on prendra le signe — . Lorsque x est le plus petit arc qui correspond au sinus donné, on a

m{ni^ — i) . mini- — i )(/;?' — q) . ^ sin mx = m sm x ^ — - sni^ x -\ ^ . . — — sur ^ H- ... :

c'est la formule donnée par Euler et reproduite par Lagrange.

Lorsque m est entier, sin mkn se réduit à zéro, et si de plus m est impair, les termes deviennent nuls à partir d'un certain rang et la série se réduit à un nombre limité de termes. On trouve par exemple

sin 3x =: 3 sin j; — 4 sin^ x, sin 5x^5 sin x — 20 sin' x -h 1 6 sin' ^ , sin 'J X = "j sin x — 56 sin '.r H- 1 12 sin^x — 64 sin' x, sin 9^ = 9 sin^ — 120 sin' a; -t-4^^'Sin^.r — 5^6 sin' .a: + 256 sin" x, sin I i.r = 1 1 sin .r — 220 sin' ^-^ i232sin':r — 2816 sin' ^ + 2816 sin' j; — 1024 sin" x.