Les formules
sin X — s\wx-]- „ , f sm^x — . . . h 1.2.3 1 .2.3.4-0 J
m' . m'-'im^ — 4) ■
cos mx = I — ■ — sm^ .r H ^ — 7; — 7— sin' x — . . . ,
peuvent aussi servir à retrouver les développements de sin z et cos z suivant les puissances de z. Posons en effet mx=^z et supposons ensuite que m
augmente indéfiniment, tandis que x tend vers zéro, le rapport ^ ayant
pour limite l'unité, on pourra remplacer sin x par x, c'est-à-dire par — ; d'ailleurs
et par suite les équations ( i ) deviendront, à la limite,
sin z =^ z —
cos z = I h
296. Développement de cosmx suivant les puissances de cos a:. — En ayant égard aux valeurs obtenues (154) pour les dérivées de cos m (arc cos a;), on trouve par l'application directe du théorème de Maclaurin,
, , mn I m= , m-(m^ — 4) , \
cosmx = cos 2/(-+- I — I cos'jcH ^ — ;7-t- cos'.r — . . .
ztmsin 2/r-f-i) — cos X r- cos'.r + "^ cos^j:— ... h
X: étant un nombre entier arbitraire, et le signes- correspondant au cas où A- est
«iOO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
pair, et le signe — au cas où k est impair. La formule ( i ) suppose que pour
cos a- = o on a a? = ( 2 ^ -h i ) -• Si cos x varie de o à \,x varie de i-ik -\- j 1 - à kn
lorsque k est pair, et de (2^+ 1) -à (X:-f- ij;t lorsque ^- est impair.
Si l'on veut que x représente le plus petit arc dont le cosinus est cos x, on a
o et
m-K [ m- ni-(n,' — 4
cos niû: = cos — i cos^^H ^ — ^-y^'cos*^ — .
. mur m-
ms\n — 1 cos x-
cos'^-t-. . . •
Si l'on fait m=i, m = ?), m = [\, on trouve
cos 2 .Z- == 2 COS^ X I ,
COS 3 .r = 4 ces' X — 3 cos x ,
cos 4^ = 8 cos' x — 8 cos- x-\- i ,
cos 5^7 = iGcos^ X — 20 cos' o: -h 5 cos j:,
cos 6 .r = 32 cos'' .r — 48 cos' x +- 18 cos' x — 1 .
En général, cos mx se compose d'un nombre fini de termes toutes les fois que m est entier. Les termes sont de degré pair ou impair, suivant que m est lui-même pair ou impair.
297. Développement de sin mx suivant les puissances de cos x. — En ayant égard aux valeurs obtenues (155), pour les dérivées de sin (marc cos ^), quand on suppose x = o, on trouve
sm w.r = siii(2/, +1 — - I cos-xH ^ — ^t^os'x — ...
}- m cos ' 2 /,■ + 1 — cos .r cos' x + ^ -^—,~^~ cos^ x — ... ,
k étant un nombre entier arbitraire, et le signe — du second terme correspondant au cas où k est pair. La formule suppose que pour cos x = 0 on ait^— (2k+ 1) -,
et lorsque cos x varie de o à -i- 1 , o? varie de (2^4-1) - à kn si ^ est pair, et de
(2^+1) -à (k + i)7:si i^ est impair. Pour aucune valeur de m cette série ne se réduit à un nombre limité de termes.
298. Remai que relative aux quatre séries précédentes. —Considérons les quatre
séries qui viennent d'être obtenues :
cosmx = CosmA7r|^.-— sm'^4--^^-3-^sin x ,.^.3 4.5.6 "'" •^^'-J
zpmsinm/fTr sin^— ^ ^ sin^.rH 1 ^ 3 A S ^^^^— • J'
r m' /7?Vm' — 4) • < m' {m^ — 4)('^' — i^) • r , 1
r m' — I . (m' — i)(m' — q) . ^ ±: m cos m/. TT \s\nx 5- sin' x H ^ -j / ^ ' ^^" ^ — • • ■ '
mi: ( m^ , m-{m^ — 4) . \
cos w^=icos (2/i + i) I cos-^H ^ o / cos'.r — ...
±msin(2/,-M) — cos.r 5- cos'.r+ ' '.] ^'cos^x — ... U
. , , , niTz f m' , , m^(m' — 4) , \
sin mx =sin 2/1-4-0 ' cos^^cH ^— ^cos^^r — .. .
WTT r '"^ — I ("^' — i)(m^ — o) , 1
zp m cos ( 2 /i- H- I ) — cos .r ~ cos' x -\ o / c ^^^ ^ — • • • '
la forme même de ces séries donne lieu à une vérification qu'il est Bon de faire remarquer. D'après les explications qui ont été données relativement au sens qu'il faut attribuer au premier membre pour une valeur donnée de k, si l'on nomme a le plus petit arc, positif ou négatif, ayant pour sinus sin x, on a
cos ma =r I — ;??' sin^ x H ;r— 7^ sm'.r — . . .
sm m
a = m sin .r — r- sm'.r H- ^ • . ^ • sm' x — . . . ;
on a de même, en nommant a' le plus petit arc qui ait pour sinus cos ^,
m- m'^hrû — 4)
cos m y. = I cos' X H ^ — a—,- cos' x — . . . ,
sin ma =: m cos a; —cos-'x-\---
Les quatre formules deviennent, d'après cela,
CQsm.a;= cos mh-n cos ma ± sin ml, 77 sin ma.=i cos ( mÂ'Trdzma), sin mx = sin m k tt cos m a dz cos m /. tt sin m a = sin ( m Itnzh nix),
, 1 , mn f ^i • , 1 jnrc . , r, J , mff "1
cos mx =■ cos (2/rH- i) cos m a zt sin (2/1-1-1) — sm ma= cos ( 2/, 4- i) — ziimy. \
-, 7 \'"'^ / / 7 , m TT . , . T/ 7 , «?7r /l
sin mx = sin ( 2 A -h i ) — cos m a ip cos ( 2 /» + i ) sin m a = sin (.2 k + 1) ip m a
3()v2 - PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉREiNTIEL.
les signes supérieurs correspondant au cas où le nombre entier k est pair, et les si'T'nes inférieurs au cas où il est impair. Or l'exactitude de ces dernières formules est évidente; a. étant en effet le plus petit arc dont le sinus est sin x, l'arc x a pour expression kn db a, le signe + correspondant au cas où k est pair, et le signe — au cas où k est impair. De même, a' étant le plus petit arc dont le sinus est
cosa?, ( 2^ + i) - qi a', est la valeur générale de l'arc dont le cosinus est cos x, les
formules précédentes peuvent donc être écrites à priori, et font voir que les formules particulières d'Euler comprenaient implicitement le développement général donné plus tard par Poinsot.
sm mx
299. Développement de suivant les puissances de tanga?. — En posant
tanga7 = r, la fonction ^^^^-^ devient sin (m arc tangj) (n-j^)"^. Or on a (156) pour X = o,
d^" sin ( m arc tang x) ( i 4- x^ ) ^
dx-"
,/jn+i sin (m arc tang ^) {\ -{-x')'^
, — i)" m.[in — i)(m — 2)...(/n — o.n-\-\){m— ■?.n),
dx'"'^'
et, par conséquent, le théorème de Maclaurin donne
>- m(m — i)(^ — 2) sin ( m arc lang r ) ( i -f- r^ ) = fny ^ — 5 j'
r w ( /7? — I ) ( /n — -2 ) sni mx = cos"" x m lang x ^ — r lang' x
Dans cette formule x désigne le plus petit arc dont la tangente est tang x. On trouverait de même, à l'aide des dérivées calculées ( 157),
cos mx = fos"
x\ I ^ -^tang'.rH ^ '-^ ^ ilang^ .*—...
Les formules générales relatives au cas où x est l'un quelconque des arcs qui ont pour tangente tang^T, peuvent se déduire de celles-ci. Si en effet a est le plus petit
