LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

arc ayant tang^ pour tangente, les autres sont de la forme kr. + a, et par conséquent les valeurs générales de sin mx et de cos mx sont,

sin mx = sin m y. cos m/ïTv -H sin wA t cos ma, cosmr = cosmacos w/i7T — sin mxsin m/iTr.

on a généralement

300. Développement de arc tang oc. — Nous avons trouvé (146) que pour x = o

d^" arc lang x

dx'"' ^/'"+' arc langue

dx"'+' on en conclut, d'après la formule de Maclaurin,

.r' x^ x'' ( I ) arc lang x=:x — -r ~^ 'E !-.■■,

et comme on a trouvé aussi (144), en posant arc tang.^- = u, -—u — y, ./"^'arctong^^(..7,.3. . . n)[-xY^.^^ ^ 3. ./;.(- .^"sin f»-4-.^ rsin'-^' r.

le terme complémentaire est

— sin (/i 4-0 ( - — arc lang Sx )•

Or, pour des valeurs" d* x comprises entre — i et + i , -7^, tend vers zéro

lorsque n augmente, et par suite la série ( i ) s'applique à toutes les valeurs de la variable, comprise entre ces limites.

301. Développement de 2irci?ing{x+ h). — En appliquant la formule de Taylor et faisant usage de l'expression de la dérivée qui vient d'être rappelée au paragraphe précédent, on trouve

(i) arclang(xH-//)=:arclangx-|-Asin==j- sin=j-sin2rH-3-'^i"V'S'i>3.)— ^sin')-sni4.>--4-....

Cette formule donne plusieurs conséquences remarquables. Si Tony lait A = — x, on obtient

0 = arc lang.r — x sin' y sin^ ysin •7. )• — ;t- sm >sin :!>• — . . . ;

4U 30 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

mais de l'équation arc tanga; = - —y, on déduit

• .r:=cotr, et par suite /< = — colj,

et l'équation précédente devient

, , TT . cos^rsinzr cos^rsinSr cos^rsinir (2) r=sinjcosjH ^^ ■— ■+ ^— — — ^H =— — iL

Si dans la même formule (i) on fait A=— a;— - = — tanew — cotw

X ^ sinrcos^

on aura

arctang(.r 4-/0 = arc lang = — - + arc tang .r = — j,

et par suite la formule (i) devient

sin jf I sin 2 j isinSj^

on en déduit

2 COSJ' -2 COS'J' O COS^J

TT sin r I sin 2 >- i sin 3 }^

^ 2 cosr 2 cos^r 3 cos\r-

Si l'on suppose enfin

c os II sin >•

on aura

arc lang(.r-}- h) = arc laiig {x — ^t + .r-y = arc lang [y/i -f-^^- (sin « — i)]

sin u — I 1 — cos r r i = arc lang = — arc tang : — = — arc lang.lang - r — 7 ,

^ cos // ^ sin r ^ ° 2 "^ 2 '

et, par suite,

d'où

- ^ v — sin r sin 2r— .^ sm 3r

^ = sin rH — sin ar-i- - sin 3r + . . .

Nous avons cru devoir faire connaître ces diverses séries, à cause de leur célébrité et pour donner un premier exemple des transformations que l'on peut faire subir aux résultats immédiatement fournis par les formules de Taylor; mais nous retrouverons la plupart d'entre elles par d'autres procédés qui nous permettront de décider dans quels cas elles sont applicables.