LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMI-,NTS EN SÉRIE

On en déduira

lang ^- = A, (2-^— I ) ^ -h A, ( 2^— • ) ^'+ A,( ?.«— i ) ^^^-. . . ,

coséc.r=^ + A.(-î — Of -t-A,(2^— ') |--*--'^'=(^'— ')|^'^--"

On a enfin

r/ 1 si n ^

= col^.

La fonction l ^^^ étant paire et nulle pour a? = o, on peut poser

on aura, en prenant les dérivées des deux membres,

et en remplaçant coLcp par la série qui le représente, on en déduit

et, par conséquent.

s'xnx Aï , A4 , Ac .

Si l'on remet des nombres à la place des coefficients Ao, A4, Ae,--, on trouve

sin:r I .r' i ^ 2 ^ L ^ -^— — —

ir ^~'3l^~ ^5j~~'^~6 47258 9355510

Quelques applications du théorème de Taylor.

307. L'application du théorème de Taylor au développement d'une fonction exige le calcul des dérivées de cette fonction; mais il arrive quelquefois que des considérations particulières permettant de faire directement le développement, le théorème de Taylor donne au contraire le moyen de calculer des dérivées d'ordre élevé dont la formation directe serait plus difficile. L'exemple suivant, emprunté au géomètre anglais Murphy, est très-remarquable.

Considérons l'expression

\ , ^-Ml^)^' ^ , «"(1^)" , 1,

Le coefficient de a" est dans le développement, —l^-L, et par suite dans le déve-

loppement de — -j^ — Le coefficient de or est évidemment