dx" or on a

— ^-^ =^«(a + i)(a4-2). . .(a-hw);

mais cette expression est égale au produit de la série

I ■ ? 1.2.3 I . 2 ... Ai ' '

par le polynôme

(a-|-i)(a + 2)...(a-h/i)= a«4- S, ol"-'-\- S.a"-^ + . . . j S„ ,

OÙ Sp est la somme des produits /> kp des n premiers nombres entiers. En formant le produit par la méthode ordinaire de multiplication, on voit que le coefficient de

a" est

H-S,ljr + — (l.rf + ...H ^^^ (Ix)".

Telle est donc la valeur de j n ' ^^ i^ serait beaucoup moins simple de l'obtenir directement.

308. Nous ferons connaître enfin une formule élégante à laquelle conduit le théorème de Taylor pour exprimer la dérivée d'ordre quelconque d'une fonction de fonction. Soit j = 9 (a) une telle fonction, u étant une fonction donnée de x; si l'on attribue à ^ un accroissement h, l'accroissement correspondant de y est représenté, d'après la formule de Taylor, par

dr , d'^r h- d^r A"

dx dx'' 1.2 ■ " dx" 1 . 2 ... «

Soit k l'accroissement correspondant de u, l'accroissement de r, c'est-à-dire de 35 (w), est représenté aussi par

du aiû 1 .2 f/a" 1 .2. . .«

On a d'ailleurs, en appliquant toujours le même théorème,

, du . d-u Iv d" u h"

h =-~ fi-h -— h . . .

dx dx- 1.2 ■ ■ ■ dx" 1 .2. . ./i