LIVRE SECOND. - DÉVELOPPE^ŒNTS EN SÉRIE

En remplaçant k par cette valeur dans la série précédente, et égalant les deux

valeurs trouvées pour Aj, on a

(du, <P u fi' Y

^ d"y h" '^dP^ \dx dx''' 77^ )

^ dx" 1.2.. .n ^ duP 1.2... p

Si, dans le second membre, on développe la puissance ^'^'"<' d'après la formule

connue pour la puissance d'un polynôme, on a enfin, en égalant les coefficients de

A" dans les deux membres,

^•^yj23 ^^^y(^). \d^) \~^/ \i.2.3...m/

dx" ^ du? ' 1 . 2 . . . /i, " 1 . 2 . . . A, ' ' " I . 2 . 3 . . . /u

A,, Ao,..., h^ devant prendre toutes les valeurs telles que

et p étant égal à A, + Aj + • • • + A,n-

Si, dans cette formule, on suppose u = x^, on aura ~ = ix, ^ = a, et les

dérivées suivantes étant nulles devront avoir pour exposant zéro; la formule se réduit alors à

J=^....3...n.,Pix^)--^-^.-—^--^.

Dans cette sommation h^ est arbitraire, A, est égal à n — 2^2, et/? à A, h- h„ c'està-dire an— Aj, la sommation devra s'étendre à toutes les valeurs de h^ inférieures

EXERCICES

Si l'on pose, comme le fait Gauss dans un de ses Mémoires,

FKp^^,.)-.+fLi^^'-(-- + ^)-P-(^+0.^^. , a(a+l)(a+2)P(p+.)(p + 2)^,

on a