QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Série de Bernoulli.

309. Jacques Bernoulli a fait connaître, dès l'origine des nouveaux calculs, une série applicable, comme celle de Tavlor, au développement d'une fonction quelconque, et qui peut d'ailleurs très-facilement s'en déduire. Si dans la formule

on pose A = — ^, on en déduit, en faisant passer dans le premier membre tous les termes autres que F(ir),

(•) F(x) = F(o)+.rF'(.r)— — F" (x )-}-....

Les coefficients des diverses puissances de x étant ici des fonctions de la variable x elle-même, cette série est d'une forme très-différente, et en général beaucoup moins utile que la série de Taylor.

Nous nous bornerons à indiquer une application.

Soit ,,

la formule de* Bernoulli donne

(2) ' {x^a)'^ = a-^nx.[x-^a)"-'—— \ xHx + af-^ — . . . .

Cette série peut d'ailleurs s'obtenir à l'aide du binôme de Newton : on a en effet

(3) ce={a^x--xY = [a^x)'' — nx[a^xY-^ + -^^^—^)^[a^xY-\ et l'identité des formules est évidente.

310. On a choisi l'exemple précédent, parce que la formule trouvée donne un moyen assez commode de calculer très-exactement la valeur numérique de certaines racines. En divisant l'équation f 3) du paragraphe précédent par {a-\-x)"a".