LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRli:. ;tl

on en déduit en effet

, r nx »^n--i' .y' n{n-i){n—'^.) -r- '1

Cette série peut être employée avec avantage pour le calcul des racines irrationnelles d'ordre quelconque.

On décompose le nombre [a + 00), ou son multiple par une puissance de même ordre, en deux parties très-inégales, dont l'une a est la n""" puissance d'un nombre entier.

Par exemple, si l'on veut calculer \/2 , on prendra

5o 3= 5^2 = 49 + 1 =7'+ r, d'où

5 \fÔ.=: v/49 H- I •

Posons en conséquence

nous aurons

et

rj / I 1.3 1.3.5

* 5 \ lo-^ 2.10^ '2 6.10"

série très-convergente et dont le calcul numérique est facile.

En effet, on a, en convertissant les termes entre parenthèses en fractions décimales,

résultat dont les vingt décimales sont exactes.

Si l'on veut déduire de la même formule la racine cubique de 3 , on remarque que l'on a

et par suite, en posant 0=27, x — ô, n-=— ^^

et

^Ii2 PREmÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On pourrait encore obtenir des séries plus convergentes, par exemple,

série extrêmement convergente, le rapport d'un terme au précédent étant < — • Le calcul numérique de ces termes donne

-^ V 3 = o , 99848 047 1 7 5 1 3 on a donc

v3= 1,4422495703074 exact à i3 décimales.

Formule de La g range.

311. Soit z une fonction de a et de a? définie par l'équation

z est développable en série ordonnée suivant les puissances de x, et la formule de Maclaurin peut fournir, comme pour toute autre fonction, les termes successifs du développement. Le problème n'a donc rien qui le distingue essentiellement de ceux que nous avons déjà résolus, mais il est remarquable par l'élégance du résultat ,-,,.fauquel il conduit et que l'on peut obtenir par plusieurs méthodes. Remarquons d'abord que, u désignant une fonction quelconque des deux variables x et a, on a, quelle que soit la fonction désignée par le signe f,

en effectuant les différentiations indiquées, on trouve, en effet, que chaque membre se réduit à •

^ du du , ^ d' u

dx da da dx

On pourrait encore démontrer la formule (2) en remarquant que F (w) ^ et F (m) --

CttA/ te (t

sont respectivement les dérivées par rapport k x et par rapport à a d'une même fonction ©(i<) telle que 9' {u) =¥ (u), et l'équation (2) équivaut alors à

d^ 9 d^<f dxda dadx

Cela posé, reprenons l'équation

en désignant par u une fonction quelconque de z.