Considérons enfin l'équation générale de degré n

rt„ = «, a: -(- rt-, ^- -h «3 x^ -h . • • -h «« •^" »

posons

^ ^ ' a, -H <7, X -h . . . H- «« ^ l'équation deviendra

c'est-à-dire

On pourra donc développer x par la formule de Lagrange, en série ordonnée suivant les puissances de «o» le coefficient de ^ ^ " - étant égal à

dx'""^ ~ dx'"-'

dans lequel il faut, après la différentiation, remplacera; par zéro.

Pour calculer cette expression, le plus simple sera de développer en série l'expression

et de chercher le coefficient de ^"'-*. Ce coefficient, multiplié par i .7.3... (m — i), est égal à la dérivée cherchée. Nous indiquerons, dans ce chapitre même, le moyen de le calculer parla méthode des coefficients indéterminés. 320. Nous donnerons enfin, pour dernière application de la formule de Lagrange,

l'expression obtenue par M. Cayley pour le développement d'une fonction ^^^ lorsque l'on sait développer toutes les puissances entières et positives de «p (2)-. Si l'on a

la formule de Lagrange donne

(2) F(z) = F(fl) + fF'(a)î(«)4-:^^F'(«)'f(«)=-i--^^,F'(a)=p(ar-i-....

Difféi entions Ifîs deux membres par rapport à a, en remarquant que -^1 déduit de l'équation (i), est égal à *

1 ' — Xtf' { z)

nous aurons

F'(^) ^Y'ia) + x^J-{a),{a) + -^^^J'{a),{ay

OU, en remplaçant œ par sa valeur — r-

— '^-"'TcJ)