LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Dans cette équation la fonction F est arbitraire, et il en est par conséquent de même de la dérivée F. Posons F {z) = -^, on obtient

Faisons dans cette formule z~o, et soit 9 (o) = A , elle devient et par conséquent

,(a,-A ^•^.•s'"^'«'+rïr3T.sr."^"-''-7:i:3T4&-"^('""+v-

5<?r/e G?e Burmann.

32t. Burmann a fait connaître une formule très-générale qui comprend comme cas particulier la série deLagrange, mais qui est elle-même très-facile à en déduire; il a résolu le problème suivant :

Développer une fonction f[z) en série ordonnée suivant les puissances d'une fonction donnée F ( z ) .

Pour résoudre ce problème, remarquons qu'étant donnée l'équation

la formule de Lagrange permet de développer une fonction quelconque/(2) en

série ordonnée suivant les puissances de x, c'est-à-dire ^^^-^y ^i donc on pose

Cette équation déterminera 9 (z), et la formule de Lagrange résoudra le problème que s'est proposé Burmann.

322. Proposons-nous, comme application, de développer e''^ en série ordonnée suivant les puissances de ze''^-, l'équation qui détermine 9 (s ) est ici

Si l'on pose a = o, 9(2) = e-*% cette équation est satisfaite et l'équation (i) du

paragraphe précédent devient

z = xe-*S

la formule de Lagrange donne par conséquent pour le développement de e"^ suivant les puissances de x ,

(2) e^'= i+ax + a.{a — ^b) — + ci.{a-ZhY ^^^^ ^ ^

c'est-à-dire, en remplaçant x par sa valeur,

(3) e''^ = i+a2e*^+r/.(« — 26) ^a-ia—Zh)^ — -^ +

Série d' Ahel.

323. La série que nous venons d'obtenir permet de démontrer une formule trèsgénérale et fort remarquable due à Abel. Considérons une fonction quelconque 9 (s), à laquelle nous n'imposerons que la seule condition d'être développable en série ordonnée suivant les puissances de e^: •

(0 cp ( 2 ) = Ao -I- A, e^ + A, e" + A3 e'^ + .*. . .

La formule (3) du paragraphe précédent donne, si l'on y suppose successivement

€"= I ^-^6;*^-«(rl— 26) — +-a.(a — 3/>)^-^+...',

e'"'= I +2ae^*-f-a(a — 26) '-^— -^a.{a — ^by

^«a I -\-nae''^^a{a — o.b)n'e'"'''+a.[a — ?>by '*'^"'

Multiplions la première de ces équations par A,,, la seconde par A, e^, la troisième par Aae"'-^..., on aura, en ayant égard à l'équation (i) et à celles qui s'en déduisent en changeant ^ en 07+ è, x-hib...,

Si l'on suppose, par exemple, fp(^) =a?'", on en déduit

ix + a)"' = x"' + ma{x + b)">-'^ ^ '■ a{a—2b){x -h^b)'"-'-^-

Méthode des coefficients indéterminés.

324. La méthode des coefficients indéterminés a fait découvrir un grand nombre de séries importantes; elle est d'un usage très-rapide, mais on ne doit