LIVRE SECOND. - DÉVTLOPPEMENTS EN SÉRIE

pas oublier qu'elle n'est rigoureuse qu'autant qu'un raisonnement préalable a légitimé la forme de développement adoptée. Sans cela les résultats obtenus ne peuvent pas être regardés comme certains.

Les démonstrations données dans le chapitre précédent autorisent à regarder une fonction quelconque comme développable suivant les puissances d'un petit accroissement attribué à la variable. Lagrange s'est efforcé, dans un ouvrage célèbre, d'établir à priori cette possibilité, mais les géomètres s'accordent à ne pas regarder son raisonnement comme concluant.

' 325. La formule de Taylor se déduit très-aisément de la méthode des coefficients indéterminés, dès que l'on a admis la forme du développement. Soit en effet

les coefficients A, B, C... étant des fonctions inconnues de x. Si l'on fait li = o, on en déduit

en prenant ensuite les dérivées successives par rapport à h, et faisant dans chacune d'elles A = o, on trouve

et ainsi de suite, de sorte que la série ne peut être autre que

326. Il est quelquefois commode de chercher les coefficients d'un développement à l'aide d'une propriété connue de la fonction que l'on veut développer et sans recourir, comme dans l'exemple précédent, à l'emploi des dérivées, qui revient à appliquer le théorème de Taylor.

Nous en donnerons quelques exemples.

Développement de x cot x. — Posons

X cot :r = A H- AiJt'-I- Aj^^ + A,,x'' + . . . ; on a . .

X ros X 9. 1.2.3.4

X cot X = — : z= X

sin X x^ x^